Introduction matrices, application linéaire

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Bien évidemment, ce choix de notations n'a aucune conséquence sur les propriétés mathématiques des objets concernés. L'essentiel est de connaître et de savoir utiliser la définition de la matrice associée à [pic 82] par rapport aux bases [pic 83] et [pic 84] : ses colonnes sont données par les coordonnées dans la base [pic 85] de [pic 86] des images par [pic 87] des vecteurs de la base [pic 88] de [pic 89] .

Cette situation peut être représentée par le schéma suivant :

[pic 90]

Nous privilégions pour la matrice associée à [pic 91] par rapport aux bases [pic 92] et [pic 93] les deux notations suivantes : [pic 94] .

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Exemples

Soit [pic 95] l'application linéaire de [pic 96] dans [pic 97] définie par :

[pic 98]

On se propose de déterminer la matrice associée à [pic 99] par rapport à des bases choisies sur [pic 100]et [pic 101] . Quelles que soient les bases choisies, on trouvera une matrice à deux lignes et trois colonnes puisque [pic 102] et [pic 103] .

On considère [pic 104] base canonique de [pic 105] et [pic 106] base canonique de [pic 107] . Alors on a [pic 108] ; la première colonne de [pic 109] est donc : [pic 110] .

De même [pic 111] , la deuxième colonne de [pic 112] est donc : [pic 113] .

Enfin [pic 114] , la troisième colonne de [pic 115] est donc : [pic 116] .

Il en résulte que [pic 117] .

Deuxième choix de bases

On considère encore la base canonique [pic 118] sur [pic 119] et la base [pic 120] sur [pic 121] avec[pic 122] et [pic 123] (seul l'ordre des vecteurs a été changé).

Alors [pic 124] et [pic 125] .

Par conséquent [pic 126] .

Sur cet exemple, on voit bien la nécessité de définir une base d'un espace de dimension n comme un [pic 127] -uplet et non pas comme une partie.

Troisième choix de bases

On va changer la base de l'espace de départ et conserver celle de l'espace d'arrivée. Soient les vecteurs [pic 128] et [pic 129] de [pic 130] . On montre facilement que ces vecteurs déterminent une base de [pic 131] .

Démonstration

Comme on a trois vecteurs dans [pic 132] , espace vectoriel de dimension [pic 133] , il suffit de montrer qu'ils sont linéairement indépendants pour prouver qu'ils définissent une base.

Soit donc une combinaison linéaire nulle des vecteurs :[pic 134] .

En exprimant les vecteurs [pic 135] sur la base canonique de [pic 136] , cette égalité équivaut au système suivant :

[pic 137]

dont la résolution par la méthode du Pivot de Gauss conduit à l'unique solution :[pic 138] . Les vecteurs [pic 139] sont donc linéairement indépendants.

On considère alors les bases [pic 140] et [pic 141] de [pic 142] et [pic 143] respectivement.

Alors [pic 144] et [pic 145].

Cet exemple illustre bien le fait que la matrice dépend du choix des bases.

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Cas d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n

Quelles que soient les bases choisies, la matrice associée à un endomorphisme est une matrice carrée d'ordre [pic 146] .

Il y a deux grandes catégories de choix de bases dans cette situation :

- Ou bien on prend la même base sur [pic 147] espace de départ et [pic 148] espace d'arrivée (ce qui n'avait pas de sens dans le cas général d'une application linéaire entre deux espaces différents).

Dans ce cas, la matrice associée à l'endomorphisme [pic 149] en choisissant [pic 150] comme base, à la fois sur [pic 151] espace de départ et [pic 152] espace d'arrivée, est notée [pic 153] ou [pic 154] .

- Ou bien on prend des bases distinctes.

Ce choix induit des différences fondamentales comme l'illustre l'exemple de l'application identique.

Matrice associée à l'application identique

Soit donc [pic 155] un espace vectoriel de dimension égale à [pic 156] ; l'endomorphisme considéré est l'application identique de [pic 157] , notée [pic 158] .

Soient [pic 159] et [pic 160] deux bases distinctes de [pic 161] .

Première situation

on se place dans le schéma suivant :

[pic 162]

Comme pour tout vecteur [pic 163] de [pic 164] , on a [pic 165] , on a [pic 166] .

Bien noter que ce résultat ne dépend pas de la base [pic 167] choisie sur [pic 168] .

Deuxième situation

on se place dans le schéma suivant :

[pic 169]

où [pic 170] et [pic 171] sont deux bases différentes de [pic 172] .

Alors si [pic 173] et [pic 174] , on a [pic 175]

et [pic 176] est la matrice dont la j-ième colonne est formée des coordonnées de par rapport à ,

[pic 177]

soit [pic 178] .

Définition

Cette matrice est appelée matrice de passage de la base [pic 179] à la base [pic 180] .

Elle joue un rôle fondamental lorsque l'on cherche une relation entre les matrices associées