La vérité et la connaissance

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S(z) + S(z) = z + S(S(z)) (règle 5)

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si z = 0 alors S(z) = 1 et S(S(z)) = 2 (règle 8)

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S(0) + S(0) = 0 + S(S(0)) (substitution de la notation de z)

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1 + 1 = 0 + 2 (règle 8)

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1 + 1 = 2 (règle 6 et règle 7)

Nous venons de prouver que 1 + 1 = 2 !!!

Ce raisonnement ne fait aucun doute. Pourquoi ? Les étapes qu'il suit suivent rigoureusement les règles que nous avions définies. Il n'y a pas de place dans notre raisonnement pour le doute! En fait, tous les systèmes mathématiques reposent sur des principes similaires, mais bien plus complexes, ce sont des systèmes axiomatiques. Un tel système repose sur des règles de départ qui sont définies par les mathématiciens, des axiomes, et l'on va ensuite dériver par démonstration, c'est à dire en appliquant strictement ces règles, de nouvelles propositions. Ces propositions sont absolument certaines, pour peu qu'on ait appliqué correctement les axiomes ! Les propositions découvertes par le processus de la démonstration sont appelées des théorèmes (1+1=2 est un théorème de notre système simplifié). Attention : on ne peut pas inventer n'importe quel système axiomatique : il faut qu'il ne mène pas à des propositions qui se contredisent ! Un système axiomatique qui ne mène pas à des contradictions est dit cohérent ou consistant (sinon on dit incohérent ou inconsistant).

* Axiome : exemple de l'axiomatique de Peano-Dedekind. Point de départ d'un raisonnement mathématique ou logique, non-démontrable lui-même. Un système axiomatique ne peut fonctionner de manière auto-référentielle.

* Théorème : exemple en arithmétique, il n'y a pas de plus grand nombre premier (théorème d'Euclide). Un théorème est une affirmation mathématique que l'on peut produire à partir des axiomes, c'est en d'autres termes une affirmation vraie des mathématiques. On peut ensuite en partir pour démontrer d'autres propositions des maths (c'est leur grand intérêt, cela nous permet une fois prouvé d'en partir comme point de départ d'autres démonstrations dans notre système sans devoir tout recommencer depuis les axiomes fondamentaux).

* Conjecture : exemple de la conjecture de Fermat (1637) → théorème en 1994 ("Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que : xn + yn = zn, dès que n est un entier strictement supérieur à 2."). Conjecture de Goldbach (1742), non résolue ("Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers."). Une conjecture est une affirmation mathématique que l'on pense être vraie, mais qui n'est pas démontrée, et pourrait ne jamais l'être, voire serait carrément être impossible à démontrer ! Si une conjecture comme celle de Fermat est démontrée, elle devient un théorème. Par contre, il suffirait de trouver un seul contre exemple à une conjecture pour l'invalider. C'est tout le mystère des conjectures, elles semblent vraies, on ne trouve pas de contre-exemple, mais la démonstration nous échappe !

* Démonstrations : par récurrence ou induction mathématique, par l'absurde, en partant d'un théorème. C'est le passage d'une proposition à une autre en appliquant les axiomes ou les théorèmes.

La démonstration porte un nom en logique, c'est le raisonnement déductif ou déduction.

B. Les principes fondamentaux du raisonnement déductif : les règles de la logique.

* principe de non contradiction : une proposition ne peut être VRAIE et FAUSSE à la fois.

[A A]

(Ne pas confondre contradiction, paradoxe et antinomie !!!)

* en dérive le principe du tiers exclus : une proposition est soit VRAIE soit FAUSSE, donc si elle n'est pas VRAIE elle est FAUSSE et vice-versa.

A -> A

Démontrer qu'un raisonnement contient une ou des contradictions revient donc à dire qu'il ne vaut rien, ou du moins qu'il sort du cadre de la raison. Découvrir une contradiction dans un raisonnement, cela revient donc à l'invalider, cela revient à dire qu'il n'est pas rationnel ! On retrouve ce principe dans les mathématiques, mais aussi en philosophie.

Ce principe nous semble totalement évident. Posons-nous alors la question : suffit-il de ne pas être contradictoire pour raisonner ? Non, bien sûr, car si nous nous contentions de ne pas être contradictoires, nous devrions nous cantonner à énoncer des évidences : 1 = 1 ; 1 2 ; etc.

* la déduction formalisée

On doit toujours partir d'un principe général connu et considéré comme certain et d'une hypothèse ou d'une observation, et on en déduit les conséquences. Par exemple : "Les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel", "Lorsqu'un corps atteint une certaine masse critique, la vitesse nécessaire pour s'en échapper (vitesse de libération) doit être supérieure à la vitesse de la lumière, donc il doit exister des corps dans l'univers dont rien ne peut s'échapper même la lumière", ...

Formalisé cela donne : ((A → B) A) → B

La déduction part d'une règle générale et d'un cas particulier pour arriver à une conclusion certaine.

La déduction est une forme de raisonnement très sûre, et pourvu que le principe de départ soit certain, nous sommes certains que le résultat auquel nous arrivons l'est aussi, comme dans le cas des mathématiques.

C. Les limites du raisonnement déductif

Nous devons être en possession d'un principe général pour commencer : "l'addition est associative", "tout entier naturel n a un unique successeur", "aucun entier naturel n'a 0 pour successeur", (voire "les corps s'attirent en