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Exercices sur la gestion des risques dans une économie globalisée

Par   •  6 Décembre 2018  •  1 928 Mots (8 Pages)  •  2 Vues

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...

correspond à la situation où l’on n’investit que sur le titre 1 et correspond à la situation où l’on n’ investit que sur le titre 2. varie donc entre 2 et 6 avec la variation correspondante de entre 2/10 et 6/10. [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

2ème cas, [pic 53]

La relation entre et est constituée de deux segments de droite : [pic 54][pic 55]

Si , alors [pic 56][pic 57][pic 58]

Si , alors [pic 59]

[pic 60]

Pour déterminer les extrémités de chacun des deux segments, on procède comme précédemment.

Si , . Les valeurs extrêmes de sont 0 et ¾, elles correspondent à et . Sur le graphique dans le plan (, ) cela correspond aux deux points (6, 6/10) et (0, 3/10).[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

Si , . Les valeurs extrêmes de sont 3/4 et 1, elles correspondent à et . Sur le graphique dans le plan (, ) cela correspond aux deux points (0, 3/10) et (0, 2/10).[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

On se reportera pour le graphique au fichier Excel.

- Expliquer comment vous procédez pour construire la frontière efficace dans le cas où le coefficient de corrélation ρ entre les rendements des titres vérifie : -1ρ

Solution

Lorsque , les proportions α et (1-α) des deux titres du portefeuille sont choisies de façon à minimiser l’écart-type (ou la variance) pour chaque valeur du rendement espéré du rendement du portefeuille. On obtient ainsi une série de points dans le plan (que l’on appelle la frontière efficace. [pic 75][pic 76][pic 77]

Notations :

, [pic 78][pic 79]

, [pic 80][pic 81]

[pic 82]

Le problème à résoudre est le suivant :

Minimiser

(3)[pic 83]

Sous la contrainte (4)[pic 84]

est un niveau de rendement fixé. [pic 85]

Il s’agit donc pour chaque niveau de rendement attendu fixé de trouver le portefeuille qui correspond au risque minimal.

peut s’exprimer en fonction de à l’aide de la relation (3) :[pic 86][pic 87]

et [pic 88][pic 89]

En remplaçant dans (3), il vient :

[pic 90]

Cette expression peut se mettre sous la forme :

(5)[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

A, B et C sont des constantes positives qui ne dépendent que des caractéristiques des titres.

(5) est l’équation d’une parabole dans le plan (, mais une hyperbole dans le plan (.[pic 95][pic 96]

En résumé, si l’on se fixe une valeur du rendement attendu pour le portefeuille, soit , les proportions des deux titres sont connues d’après la relation (4) et par conséquent, le problème de minimisation est trivial car ne dépend plus alors que de . [pic 97][pic 98][pic 99]

Dans notre exercice avec , par exemple, l’équation (5) s’écrit : [pic 100]

[pic 101]

Pour un niveau de risque mesuré par l’écart-type , on détermine le rendement attendu par ce portefeuille en résolvant l’équation :[pic 102]

[pic 103]

Le discriminant vaut :

[pic 104]

Il y a deux racines , mais un écart-type est toujours positif ou nul, on ne conserve donc que la racine positive. Le discriminant est donc positif si . Cet écart-type est l’écart-type minimal.[pic 105][pic 106]

Dans ces conditions, l’équation donnant le rendement attendu en fonction de l’écart-type s’écrit :

[pic 107]

Les portefeuilles correspondant à la partie inférieure de la frontière efficace correspondent pour un même niveau de risque à un rendement attendu moins élevé :[pic 108][pic 109]

Ces portefeuilles sont dits dominés (courbe orange dans le fichier Excel). Ils ne seront pas retenus car à risque égal, on préfèrera les portefeuilles présentant un rendement plus élevé.

La partie supérieure de la frontière efficace est souvent appelée frontière efficiente (courbe bleue dans le fichier Excel) : elle correspond aux portefeuilles qui pour un risque donné offrent le meilleur rendement.

Le portefeuille de risque minimal peut s’obtenir de deux façons :

- La première est celle déjà utilisée dans l’exercice 3 à la question 3.

- La deuxième consiste à minimiser la variance en la considérant comme une fonction du rendement. Pour cela, on dérive par rapport à la variance dans la relation (5) :[pic 110]

[pic 111]

Il vient [pic 112]

Puis on cherche la valeur de qui annule la dérivée :[pic 113]

[pic 114]

Pour le tracé de la frontière efficace, voir le fichier Excel.

Exercice 5

On considère un portefeuille de marché constitué de 3 actifs risqués. On dispose des éléments suivants :

Actifs

Unités de compte

Cours

Rendement attendu

Ecart-type

A

100

...

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