Année universitaire 2013-14. 1er semestre L1

...

3) La suite un est-elle convergente ?

4) Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 5

Soit la suite [pic 14], avec u0 =1

1) Montrez par récurrence que un >0.

2) un est-elle monotone ?Est-elle croissante ou décroissante ?

3) La suite un est-elle convergente ?

4) Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 6

Soit la suite définie par : un = [pic 15], avec u0 =2.

- Montrez que cette suite est positive.

- La suite un est-elle monotone?

- Recherchez la limite éventuelle d. On définit la suite auxiliaire

vn= un -d ; exprimez vn en fonction de vn-1.

- Montrez qu’on peut trouver un réel A, tel que 0|vn|n-1|.

- En déduire que un est convergente.

Exercice 7

Soit la suite un = [pic 16], n ≥ 1, n ∈ N.

On définit une autre suite vn = [pic 17], n ≥ 1, n∈N.

- Montrez que un et vn sont des suites adjacentes (3 propriétés). Qu’en déduit-on ?

- Soit la suite yn = [pic 18], n ≥ 1, n ∈ N.

Construisez une suite zn appropriée pour que yn et zn soient adjacentes et montrez ainsi que yn est convergente.

Mathématiques 1. Année universitaire 2013-14. 1er semestre L1

Ufr d’économie Divisions 1 et 2

Cours de Claude Bressand, Jean-François Caulier

TD 5-6. Formes indéterminées, théorème des accroissements finis, dérivées, étude de fonctions d’une variable

Exercice 1 , Formes indéterminées. On rappelle que :

1) Lorsque x tend vers l’infini, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré, et que l’élément de plus haut degré doit être recherché dans des expressions de caractère plus général

2) Lorsque x tend vers une valeur finie, il faut d’abord constater le type d’indétermination (une limite ne présente pas toujours d’indétermination), puis appliquer la méthode appropriée pour lever l’indétermination.

Trouver un équivalent et la limite des expressions suivantes :

- f(x) = [pic 19] , lorsque x tend vers l’infini ,

- s(x)=[pic 20] lorsque x tend vers +[pic 21]

c) u(x)=[pic 22] lorsque x tend vers l’infini (vous distinguerez +[pic 23] et -[pic 24]),

d) g(x) = 5x - [pic 25], lorsque x tend vers +[pic 26], puis x tend vers 0+.

e) h(x) = [pic 27] lorsque x tend vers +[pic 28].

f) z(x) = [pic 29] lorsque x tend vers +[pic 30].

g) v(x)=[pic 31]lorsque x tend vers 2 (vous pouvez introduire la variable auxiliaire h = x-2, qui tend vers 0 lorsque x tend vers 2, et remplacer x par 2+h, soit v(x) = v(2+h)).

h) q(x) = [pic 32] lorsque x tend vers 1.

Exercice 2

- Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction x → 1/x entre deux points a et b de même signe positif.

- En déduire que la racine carrée du produit de deux nombres positifs est comprise entre ces deux nombres.

Exercice 3

Calculer les dérivées d’ordre 1, d’ordre 2, puis d’ordre n des fonctions définies par :

- f(x) = xk, x > 0, k∈N, puis f(x) = xα, α réel positif non entier.

- h(x) = ax avec a >0

- g(x) = ln (2 + 5x)

- u(x) = [pic 33]

- z(x) = log3 (5 + x)

Exercice 4

Calculer les dérivées première et seconde des fonctions suivantes :

- f(x) = xnemx (n et m appartiennent à N), b)g(x) = [pic 34], c) q(x)=x2 sin (ax+b), a et b étant des paramètres, d)v(x) =[pic 35], e)z(x)=ln(x+2[pic 36]), f)u(x)=[pic 37]

Exercice 5

Soient f(x) et g(x) deux fonctions de classe C1 sur R.

Donner, lorsqu’elle existe, (en utilisant si nécessaire les dérivées de f(t) et g(t))

la dérivée des fonctions :

a) v(t) = f(t+ [pic 38]) ; z(t)=lnf(t2) b) w(t) = f3(t2+[pic 39]) c) h(t) =[pic 40].

Exercice 6

On appelle élasticité d’une fonction dérivable f(⋅) l’expression :e(x) = f’(x) (f(x) ≠ 0).

- Donner l’élasticité du produit f(x)g(x) en fonction des élasticités de f(x) et de g(x).

- Même question pour le quotient f(x)/g(x).

- Donner les élasticités des fonctions :

f(x) = xa,a Є R; g(x) = 3x + 2 ; h(x) = (mx + n)xc, c Є R; q(x) = e2x+3

Exercice 7

En dérivant les deux membres de l’équation f -1(f(x)) = x (on désigne par f -1(x) est la

la fonction réciproque de f(x)), exprimez la dérivée de f -1(x) en fonction

de celle de f(x).

Déduire les dérivées de lnx, ax, [pic 41], de celles respectives de ex, logax, x2

Exercice 8

On