Correction de devoir.

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- Les plans (GEM) et (BCGF) ont en commun les points N et G et ne sont pas confondus car le point E du plan du plan (GEM) n’appartient pas au plan (BCGF), donc ces deux plans sont sécants selon la droite (NG).

2) La section du plan (GEM) par le cube est le quadrilatère GEMN, or d’après la question 1, les droites (EG) et (MN) sont parallèles, donc le quadrilatère GEMN est un trapèze.

Lorsque M est milieu de [AB], dans le triangle ABC, la droite (MN) est parallèle à (AC) car ces deux droites sont parallèles à (EG) d’après la question 1, donc elle coupe le troisième côté [BC] en son milieu qui est N d’après la réciproque du théorème de la droites des milieux. Les triangles AEM rectangle en A et CGN rectangle en C ont leurs côtés respectifs de l’angle droit de même longueur ( 1 cm et ½ cm), donc leurs hypoténuses respectives [EM] et [GN] ont aussi même longueur d’après le théorème de Pythagore. Le trapèze GEMN est donc isocèle.

[pic 7]

Remarque : Si M n’est pas le milieu de [AB], on démontre aussi que le trapèze GEMN est isocèle.

Les droites (AC) et (MN) sont parallèles à (EG), donc parallèles entre elles, j’applique alors le théorème de Thalès aux points alignés B, M, A d’une part et B, N, G d’autre part.

[pic 8] donc BM = BN puisque BA=BC=1

AM = BA – BM = BC – BN = CN

Les triangles rectangles AME et CNG ont leurs côtés de l’angle droit respectivement de même longueur, donc leurs hypoténuses aussi de même longueur d’après le théorème de Pythagore c’est à dire que : ME = NG. Le trapèze GEMN est donc isocèle.

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