Une suite numérique est une fonction de IN vers IR

...

Somme des termes d'une suite arithmétique:

Pour tout entier naturel n, on a:

et

Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, on a:

Somme des termes d'une suite géométrique:

Pour tout entier naturel n, et pour tout réel q ≠ 1, on a:

et

Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q ≠ 1, on a:

.

Voir aussi livre page 10.

Ces propriétés ont été démontrées en classe de première, mais nous allons nous amuser à les redémontrer avec une autre méthode qui est au programme de terminale:

Principe du raisonnement par récurrence:

Il permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier n0 fixé (qui est souvent zéro). On procède de la façon suivante:∙ On vérifie que la propriété est vraie au départ pour un entier n = n0 (on a souvent n0 = 0).

∙ On prouve que la propriété est héréditaire, c’est à dire que:

Si la propriété est vraie pour un entier naturel quelconque p ≥ n0 , alors elle est encore vraie pour l'entier consécutif p+1.

On en déduit alors, de proche en proche, que la propriété est vraie quel que soit l'entier naturel n ≥ n0.

Voir aussi livre page 11.

Représentations graphiques de suites:

Lorsque la suite est définie par une égalité fonctionnelle du type un = f(n) , la représentation traditionnelle des graphiques de fonction est utilisable: On obtient alors les points d'abscisses entières du graphique de la fonction de la variable réelle x: x [pic 1]f(x) .

Par exemple, le graphique de la suite (sn) définie sur * par: , correspond aux point d'abscisses x∈* de la fonction définie sur * par [pic 2]:

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[pic 3]

Lorsque la suite est définie par une formule de récurrence du type un+1 = f(un), cette représentation n'est plus directement réalisable. On a alors recours à une représentation de type "toile d'araignée" ( Web, pour les calculatrices utilisant l'anglo-saxon …). Voyons cela sur un exemple:

[pic 4]

[pic 5]

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Suites monotones:

∙ Sens de variation d'une suite :

Si pour tout n∈IN , on a:

un ≤ un+1

un = un+1

un ≥ un+1

Sens de variation de (un)

(un) croissante

(un) constante

(un) décroissante

Variation absolue

un+1 − un ≥ 0

un+1 − un = 0

un+1 − un ≤ 0

Quotient (termes strictement positifs)

Voir aussi livre page 12.

Suites bornées, majorées, minorées: Voir livre page 12.

Par exemple, la suite sn = sin n est une suite bornée:

En effet: elle est majorée par 1 et minorée par (−1).

Suites périodiques: On dit qu'une suite (un) est périodique de période p∈ IN * , lorsque, pour tout entier naturel n, on a: un+p = un , p étant le plus petit entier naturel non nul vérifiant ceci.

Par exemple, les suites constantes sont périodiques de période 1. La suite un = (−1)n est périodique de période 2.

Limites de suites:

définition: Les suites étant des fonctions de IN vers IR , toutes les propriétés des limites des fonctions s'appliquent aux suites numériques. Cependant, la seule limite intéressante est celle qui concerne les " grandes valeurs " de n∈IN, c'est à dire: .

Trois cas peuvent se présenter :

1) Limite finie:

où a∈IR. Ceci signifie que tout intervalle ouvert contenant le réel a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On dit alors que (Un) converge vers a.Exemple: La suite de terme général Un = converge vers 1 car:

2) Limite infinie:

[pic 6] . Ceci signifie que tout intervalle du type [ A ; + ∞ [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.[pic 7] . Ceci signifie que tout intervalle du type ] − ∞ ;A] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Exemples: ou

3) Pas de limite:

(Un) n'a pas de limite, ni finie ni infinie.Exemple: Un = (−1)n qui prend alternativement les valeurs 1 et (−1).

Dans les cas 2) et 3), on dit que la suite est divergente.

Voir aussi livre page 13.

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Limites des suites de référence:

Les suites de terme général n, n2 , n3 , n4 ,....ainsi que , ⎜n ⎜ ;sont divergentes et ont pour limite +∞.

Les suites de terme général , , ,