Suites numériques : généralités

...

♦ 1 + q + q2 + … + qn = pour q 1

Exercice 8 : Calculer 1 + 2 + 22 … + 210

Exercice 9 : (un) définie par u0 = 2 et un+1 = 3un . Calculer S = u2 + u3 + … + u10

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III. Variations d’une suite :

1) Sens de variation :

On cherche surtout à partir de quel entier p la suite (un) garde le même sens de variation.

_ la suite (un) est croissante à partir du rang p si et seulement si pour tout n p : un+1 un.

_ la suite (un) est décroissante à partir du rang p si et seulement si pour tout n p : un+1 un.

_ la suite (un) est stationnaire à partir du rang p si et seulement si pour tout n p : un+1 = un.

On dit que la suite est monotone si elle est croissante (ou décroissante) à partir de son 1er terme.

Attention ! pour avoir les variations strictes il faut des inégalités strictes.

par exemple avec un = n2 – n + 4 u0 = u1 donc la suite n’est pas strictement croissante pour n 0.

2) Etude des variations :

_ cas général : on étudie le signe de un+1 – un

Exercice 10 : étudier les variations de la suite (un) définie pour n 1 par : un = .

Exercice 11 : étudier les variations de la suite (vn) définie pour n 0 : vn =

_ cas des suites explicites définies par un = f (n) :

(un) a les mêmes variations à partir du rang p que f sur [p ; + [

Exercice 12 : étudier les variations de la suite (un) définie pour n 0 : un = n3 – 2n + 5

_ cas des suites arithmétiques :

Une suite arithmétique de raison r est croissante si r > 0 et décroissante si r

_ cas des suites géométriques :

La suite géométrique (qn) est croissante si q > 1, décroissante si 0

Les suites (– 2)n et )n n’ont pas de variations car elles changent de signe à chaque terme !

Exercice 13 : étudier les variations de la suite (wn) définie pour n 0 : wn = 2) n .

Exercice 14 (facultatif) : démontrer la propriété sur les variations de (qn)

_ cas où les termes sont tous strictement positifs : on étudie le quotient

(un) est croissante si > 1 , décroissante si

C’est utile si la suite est définie avec un quotient ou des puissances