Cours suites prépa HECT 1

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HECT1

Application : 1) Soit u une suite arithmétique de raison 2 avec u10=5, déterminer u15 2) Déterminer la raison de la suite arithmétique (un) tel que u1=10 et u99=1250.

Théorème (Somme d’une suite arithmétique) : Soit u une suite arithmétique alors :

up+up+1+up+2+......+ut= 1) ( 2 )( +−× + pt uu t p ou up+up+1+up+2+......+uq= (Somme du + petit terme et du + grand)×(nombre de terme)÷2

Exemple :

2+4+6+8+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36= = ×..... 2 ............

Applications : a)Soit (un) est une suite arithmétique de premier terme u3= 5 et de raison 3 Soit S = u3 + u4 + u5 + ... + u9, déterminer S.

b) Déterminer 1+7+13+19+......+61

Culture ( la somme de 1 à 99) : En primaire, l’élève Gauss , fils d’un comptable, présentait des dons

pour les mathématiques. Il avait toujours fini avant les autres. Un jour, son professeur voulut l’occuper

en lui posant un problème « Calculer moi la somme de 1 à 99 ». Ce denier fut surpris car l’élève Gauss

répondu rapidement. Mais comment a-t– il fait ?

B- Les suites géométriques. Définition : Soit q un nombre réel. La donnée d’un terme initiale un0 et de la relation "pour tout entier naturel n ≥n0, un+1 = un × q " définissent une suite (un).Une telle suite est appelée Suite géométrique de raison q.

Illustration :

Exemples : 2;4;8 ;16;32;64;128;256;512;1024…… est- une suite géométrique de raison 2 et dont le terme initiale est 2.

Méthodologie pour montrer ou pas qu’une suite est géométrique: 1) Je calcule les 3 premiers termes de la suite et je constate si la suite est géométrique ou pas (Pour ce

faire, je calcul le quotient entre les termes 2 à 2 consécutifs (

n

n u u 1 + ), si elle est constante, la suite semble

être géométrique.

2) Pour prouver que la suite u est géométrique, je regarde si u 1 +n =u n ×+cste ou si

n

n u u 1 + =cste, la raison

correspondant à cette constante.

Application : 1) La suite (Un) définie par U0=1 , U1=2et Un+1=

2 1 uu n n + − . Est-elle géométrique?

2) La suite (Un) définie Un= 1 7 10 +n n

. Est-elle géométrique

U1 U2

U0

U3 U4 × q

× q × q × q

M.Gamondès HECT1 Propriété : Soit (un) la suite géométrique de premier terme un0 et de raison r alors : Pour tout naturel m≥ n0, et tout naturel p≥ n0 : um = up q m p − ×

Rem : (m-p) correspond à l’écart entre les deux rangs

Applications : Déterminer u5 de la suite géométrique (un) tel que u2=7 et de raison q=2.

Théorème (Somme d’une suite géometrique) : Soit u une suite géométrique de raison q alors :

up+up+1+up+2+......+ut=

q

quu

q

q u t p t p p − − = − − × − + 11 1 1

ou up+up+1+up+2+......+ut= (terme

initial)×

q q terme denombre −

−

1 1 K K

= × − q1 1

(Terme initiale –la raison × le dernier terme)

Applications : a) Soit (un) est une suite géométrique de premier terme u3= 2 et de raison 2 Soit S = u3 + u4 + u5 + ... + u9, déterminer S.

b) Déterminer S’=5+15+45+135+405+1215+3645.

C-Les suites arithmético- géométriques.

Définition : Soient a et b deux nombres réels. La donnée d’un terme initiale un0 et de la relation "pour tout entier naturel n ≥ no , un+1 = a.un + b " définissent une suite (un).Une telle suite est appelée Suite arithmético-géometrique .

Exemple : Soit (Un) une suite arithmético-géometrique tel que Un+1=2Un+1 avec Uo=1. Déterminer

21 ,UU et 3 U .

On attend de vous que connaissant une suite arithmético-géometrique, vous sachiez exprimer le terme générale en fonction de n et un0 afin de facilité les calculs de terme ou de somme.

Méthodologie pour exprimer une suite arithmético-géometrique en fonction de n et un0.

Soit (Un) une suite arithmético-géometrique tel que Un+1=f(Un) avec f(x)=ax+b 1) Le cherche le point fixe de f, i.e je détermine α tel que f( α )= α . 2) Je définie une suite auxiliaire Vn=Unα et je montre qu’elle est géométrique.(Vn+1=a.Vn) 3) J’exprime Vn en fonction de n et de son terme initial. 4) J’en déduis Un en fonction de n.