Les suites, mathématiques.

...

n, vn+1 − un+1 =

vn − un (vn + 1)(un + 1)

.

Comme le produit (vn + 1)(un + 1) est strictement positif, le signe de vn+1 − un+1 est le signe de vn − un.

Ainsi, la suite (vn − un) est de signe constant à savoir le signe de son premier terme. Or, v0 − u0 = 2 − 1 = 1 et v0 − u0 > 0. On en déduit que la suite (vn − un) est positive.

Pour tout entier naturel n, vn − un ≥ 0.

Soit n un entier naturel. Puisque un ≥ 1 et vn ≥ 1, on a un +1 ≥ 2 et vn +1 ≥ 2 puis (un +1)(vn +1) ≥ 4 et finalement 1 (un + 1)(vn + 1) ≤ 1 4 . Mais alors, puisque vn − un ≥ 0,

vn − un (vn + 1)(un + 1) ≤

1 4

(vn − un).

Pour tout entier naturel n, vn+1 − un+1 ≤

1 4

(vn − un).

d. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, vn − un ≤1 4n. • Pour n = 0, on a v0 − u0 = 1 et1 40 = 1. Donc v0 − u0 ≤1 40. Ainsi l’inégalité à démontrer est vraie quandn = 0. • Soit n ≥ 0. Supposons que vn − un ≤1 4n. Alors

vn+1 − un+1 ≤

1 4

(vn − un) ≤

1 4

.1 4n =1 4n+1.

On a montré par récurrence que

pour tout entier naturel n, vn − un ≤1 4n. e. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ vn − un ≤1 4n. Comme

 1 4

 < 1, on a lim n→+∞1 4n = 0. Le théorèmedes gendarmes permet alors d’affirmer que la suite (vn − un) converge et que lim n→+∞ (vn − un) = 0. En résumé, la suite (un) croît, la suite (vn) décroît et lim n→+∞ (vn−un) = 0. Les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes et donc convergentes et ont même limite.

Les deux suites (un) et (vn) convergent vers un même réel.

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Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

Puisque pour tout entier naturel n on a un ≥ 1, par passage à la limite quand n tend vers +∞on a encore a ≥ 1. Puisque pour tout entier naturel n on a un+1 = 2un + 1 un + 1 , par passage à la limite quand n tend vers +∞ on a encorea = 2a + 1 a + 1 . Or

a =

2a + 1 a + 1 ⇔a(a + 1) = 2a + 1⇔a2 − a − 1 = 0. Le discriminant de l’équation x2 − x − 1 = 0 est ∆ = 5. Cette équation admet donc deux solutions réelles : x1 =

1 +√5 2

et x2 =

1 −√5 2

. Seul x1 est un nombre supérieur ou égal à 1 et donc

a =

1 +√5 2

.