Suites numériques : limite finie ou infinie

...

L un réel.

• Si lim (un) = L, alors on dit quelquefois que la suite (un) converge vers le nombre L. Cela « rejoint » le sens courant du mot « converger ».

• On démontre (avec un « bagage » mathématique plus étoffé) et on admet ici, que tout intervalle ouvert I contenant L contient un intervalle ouvert J contenant L et de centre L.

Autrement dit :

Soit I un intervalle ouvert contenant L.

Il existe un réel r > 0 tel que J = ]L – r ; L + r[ I. L est bien le centre de J.

Avec cette remarque, on peut alors dire que : (un) converge vers L lorsque pour tout réel r > 0, il existe un rang entier n2 vérifiant la proposition : .

Or :

.

Remarque

Cette nouvelle définition est donnée à titre de « culture mathématique » ; MAIS sa connaissance n’est pas exigible en TS.

• Il existe des suites qui n’ont pas de limite, c’est-à-dire qui ne vérifient aucune des trois définitions précédentes. C’est le cas de la suite ((-1)n). Cette suite prend alternativement les valeurs 1 ou -1 selon que n est pair ou impair. Les trois définitions précédentes sont alors mises à défaut.

• On dit quelquefois que la suite (un) diverge lorsqu’elle a une limite infinie OU BIEN lorsqu’elle n’a pas de limite.