Methodologie suites recurrentes

...

d´ecoule directement de (1). En effet si ` et `0 sont deux points fixes de f

appartenant `a I, alors

|` − `0| = |f(`) − f(`0)|  |` − `0|.

Puisque 0   < 1, on en d´eduit que ` = `0.

2

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010

II Exemples d’´etude

1. Etude de un+1 = p

un.

On veut ´etudier la suite (un)n d´efinie par : u0 2 R+ et pour tout n 2 N, un+1 = p

un. L’exemple choisi est

intentionnellement simple : on pourrait conclure directement en observant que

8n 2 N, un = (u0) 1

2n .

• Etudions d’abord les variations de f et le signe de f(x) − x sur R+.

! ´etude de f sur R+. f est d´efinie et continue sur R+ ; f est strictement croissante et son image est

R+. Ainsi, R+ est un intervalle ferm´e invariant par f.

! ´etude du signe de f(x)−x sur R+. La fonction g d´efinie sur R+ par g(x) = f(x)−x est d´erivable

sur ]0,+1[. Sa d´eriv´ee g0 v´erifie :

8x > 0, g0(x) =

1

2

p

x

− 1 =

1 − 2

p

x

p

x

.

On en d´eduit imm´ediatement le signe de g0 et les variations de g sur R+.

x 0 1

4 +1

g0(x) + 0 −

g(x) 0

* 

1

2@

@

@R

−1

La fonction g s’annule donc en unique valeur dans [ 1

4 ,+1[. L’´equation g(x) = 0 est ´equivalente `a

l’´equation x2 = x puisque x  0. Il s’ensuit que g s’annule en 0 et en 1.

D’o`u le signe suivant de f(x) − x sur R+.

x 0 1 +1

f(x) − x 0 + 0 −

! Quelques conclusions. De ce qui pr´ec`ede, on tire les conclusions suivantes :

f([0, 1]) = [0, 1] ; f([1,+1[) = [1,+1[.

• Cas o`u u0 2 [0, 1] (cf Fig. 1).

! On peut d´ej`a dire que la suite (un)n est bien d´efinie et que la suite (un)n est born´ee. En effet, [0, 1]

est un intervalle invariant par f.

! La suite (un)n est croissante. En effet, f(x)  x pour tout x 2 [0, 1].

! Conclusion. La suite (un)n ´etant croissante et major´ee par 1, la suite (un)n converge vers l’un des

points fixes de f : 0 ou 1.

Si u0 = 0, alors la suite (un)n est constante ´egale `a 0 : elle converge donc vers 0.

Si u0 > 0, alors la suite (un)n converge vers 1.

• Cas o`u u0 > 1 (cf Fig. 1).

! On peut d’ores et d´ej`a dire que la suite (un)n est bien d´efinie et `a valeurs dans [1,+1[. En effet,

[1,+1[ est invariant par f.

! La suite (un)n est d´ecroissante. En effet, f(x)  x pour tout x  1.

! Conclusion. La suite (un)n ´etant d´ecroissante et minor´ee par 1, la suite converge vers l’un des points

fixes : 0 ou 1.

Le premier cas ´etant `a exclure, on en d´eduit que la suite (un)n converge vers 1.

2. Etude de un+1 = 4−un

4+un

.

On veut ´etudier la suite (un)n d´efinie par u0 = 3 et pour tout n 2 N, un+1 = 4−un

4+un

.

Soit f d´efinie sur R \ {−4} par f(x) = 4−x

4+x .

3

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010

Fig. 1 – It´er´es de un+1 = p

un : cas o`u u0 2 [0, 1] et u0 > 1.

• On d´etermine d’abord un intervalle invariant par f.

! ´Etude de f. f est d´efinie et d´erivable sur R \ {−4}. La d´eriv´ee f0 de f v´erifie

8x 2 R \ {−4}, f0(x) = −

8

(4 + x)2 .

D’o`u les variations de f :

x −1 −4 +1

f0(x) − +

f(x) −1 HHHj

−1

+1HHHj

−1

On trouve un premier intervalle invariant, `a savoir ] − 4,+1[. Son image par f est ´egale `a

] − 1,+1[] − 4,+1[.

La suite (un)n est donc bien d´efinie.

! L’intervalle [0, 4] est invariant par f. En effet f est strictement d´ecroissante et continue sur [0, 4].

De plus, f(0) = 1 et f(4) = 0. D’o`u

f([0, 4]) = [0, 1]  [0, 4].

On en d´eduit que (un)n est