Devoir 1 Maths BTS SIO (CNED).
Par Stella0400 • 24 Mai 2018 • 1 460 Mots (6 Pages) • 915 Vues
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= a + (1 + . ) . [pic 82][pic 83][pic 84]
= a + 1 . [pic 85]
. + a + b . + . . = a + [pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]
8. a) On utilise le résultat des questions 6 et 7 pour remplacer . + a + b . + . . par a + , donc :[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]
non( . + a + b . + . . ) = non(a + )[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]
= non a . non [pic 107]
= . c[pic 108]
b) Les possibilités de voyage de M. Paul étaient résumées par l’expression booléenne a + . L’impossibilité est donc non(a + ) c'est-à-dire . c autrement dit non a et c. M. Paul ne pourra pas voyager en train avec l’associé. L’assistante a raison.[pic 109][pic 110][pic 111]
Exercice 3 (généralités sur les suites numériques) (10,5 points)
Partie A (3,75 points)
1. = = 13,750[pic 112][pic 113]
= ≈ 13,636[pic 114][pic 115]
2. f’ = donc :[pic 116]
f’(x) = = [pic 117][pic 118]
f’(x) = [pic 119]
3. Pour tout réel x dans [0;+∞[, on a : -50 0 donc f’(x) [0;+∞[, donc la suite définie par = f(n) est strictement décroissante.[pic 120][pic 121]
4. La suite est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme qui vaut 25.[pic 122][pic 123]
= = = 25[pic 124][pic 125][pic 126]
5. - 12,5 = – 12,5[pic 127][pic 128]
= – [pic 129][pic 130]
= [pic 131]
= [pic 132]
n ≥ 0 donc 2n + 2 ≥ 0 et ≥ 0[pic 133]
On a donc démontré que pour tout entier n : – 12,5 ≥ 0[pic 134]
6. L’inégalité précédente signifie que ≥ 12,5, autrement 12,5 ≤ pour tout entier n. D’après la question 4, ≤ 25, on a donc pour tout entier n : 12,5 ≤ ≤ 25. est minorée par 12,5 et majorée par 25, elle est donc bornée.[pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139]
7. L’inéquation [pic 140]
[pic 141]
25n + 50
25n + 50
50
50
50 – 28
22
[pic 142]
On a donc . Or = 7,33 et n est entier, donc on a [pic 143][pic 144][pic 145][pic 146]
Partie B (3,75 points)
1. = 14 – 0,9⁹ ≈ 13,613[pic 147]
= 14 – 0,910 ≈ 13,651[pic 148]
2. – = (14 – 0,9n+1) – (14 – 0,9n)[pic 149][pic 150]
= 14 – 0,9n+1 – 14 + 0,9n
= 0,9n – 0,9n+1
= 0,9n * 1 – 0,9n * 0,9
= 0,9n (1 – 0,9)
– = 0,9n * 0,1[pic 151][pic 152]
0,9n et 0,1 sont strictement positifs donc leur produit aussi. Par suite pour tout entier naturel n,
– > 0 donc > ce qui prouve que la suite de terme général est croissante[pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157]
3. Pour comparer et 14, étudions le signe de – 14 :[pic 158][pic 159]
– 14 = 14 – 0,9n – 14 = – 0,9n donc pour tout entier naturel n, – 14 [pic 160][pic 161][pic 162]
La suite de terme général est donc majorée par 14[pic 163]
4. Etudions ensuite le signe de – 13 :[pic 164]
– 13 = 14 – 0,9n – 13 = 1 – 0,9n[pic 165]
Or 0,9 n n c'est-à-dire 0,9n
On en déduit : 1 – 0,9n > 0 c'est-à-dire – 13 > 0 autrement dit > 13[pic 166][pic 167]
La suite est donc minorée par 13[pic 168]
La suite est donc minorée et majorée, donc bornée. Pour tout entier naturel n : 13 [pic 169][pic 170]
5. L’inéquation > 13,9 est équivalente à :[pic 171]
14 – 0,9n > 13,9
14 > 13,9 + 0,9n
14 – 13,9 > 0,9n
0,1 > 0,9n
0,9n
Après plusieurs essais avec la calculatrice, on obtient :
0,921 = 0,109 donc 0,921 > 0,1 et [pic 172]
0,922 = 0,984 donc 0,922 > 13,9[pic 173]
a donc > 13,9 à partir de l’indice 22.[pic 174][pic 175]
6. Le plus simple est de montrer que pour tout entier naturel n, 0,9 + 1,4 = [pic 176][pic 177]
: 0,9 + 1,4 = 0,9 * (14 – 0,9n) + 1,4[pic 178][pic 179]
= 0,9 * 14 – 0,9 * 0,9n + 1,4
= 0,9 * 14 + 0,1 * 14 – 0,9n+1
= (0,9 + 0,1) * 14 – 0,9n+1
= 1 * 14 – 0,9n+1
= 14 – 0,9n+1
On a bien pour tout entier naturel n : 0,9 + 1,4 = 14 – 0,9n+1 autrement dit 0,9 + 1,4 = [pic 180][pic
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