Théorie des jeux L2AES

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Espérance de Thomas :

- ½ x (-1) = -0,5 ; ½ x (-1) = -0,5 ; -0,5 + -0,5 = -1

- ½ x (-1) = -0,5 ; ½ x 1= 0,5 ; -0,5 + 0,5 = 0

- ½ x 1 = 0,5 ; ½ x (-1)= -0,5 ; 0,5 – 0,5= 0

- ½ x 1= 0,5 ; ½ x 1= 0,5 ; 0,5+ 0,5 = 1

- ½ x (-4)= -2 ; ½ x 4= 2 ; -2 + 2 = 0

- ½ x (-4) = -2 ; ½ x 1 = +0,5 ; -2 + 0 ,5 = -1,5

- ½ x 1 = 0,5 ; ½ x 4 = 2 ; 0,5 + 2 = 2,5

- ½ x 1= 0,5 ; ½ x 1= 0,5 ; 0,5 + 0,5 = 1

Espérance de Margot :

- (0,5 x 4) + (0,5 x -1) = 1,5.

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Les solutions des jeux non coopératifs.

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Le cas des jeux à informations parfaites et complètes représentés sous forme extensive.

- Induction à rebours (backward induction) :

On considère que les joueurs rationnels ne joueront jamais une action qui va leur rapporté moins qu’une autre action disponible au même niveau du déroulement du jeu. Le joueur rationnel va éliminer les stratégies dominées. Pr procéder à ces éliminations, on commence par la fin du jeu en supprimant les stratégies dominées et remontant jusqu’au début du jeu.

Exemple : Jeu n° 3

Jeu n°3 :

- Margot n’a pas intérêt à jouer (a) car elle gagne 2

- Margot a intérêt à jouer (b) car elle gagne 3 → (a) disparait.

- Margot n’a pas intérêt à jouer (c) car elle gagne 4

- Margot a intérêt à jouer (d) car elle gagne 6 → (c) disparait.

Thomas en se mettant à la place de Margot va réduire le jeu, anticiper les choix de Margot, et va pouvoir définir la bonne stratégie à jouer.

- Ici il va Jouer (A), car il sait que Margot jouera (b) : (5 ; 3).

- Ici il n’a pas intérêt à jouer (B), car Margot jouera (d) : (3 ; 6).

(A faire : résoudre par la méthode de l’induction à rebours le jeu n°4 ; lire sur la plateforme le cours de la page 1-10 concernant la solution des jeux non coopératifs).

Les problèmes liés à l’induction à rebours :

Parfois elle mène à des solutions qui ne sont pas optimales. On voit ce défaut avec les jeux nommés « Stop ou encore ».

Le jeu « Stop ou encore » est un jeu représenté sous forme extensive en forme parfaite avec 2 joueurs qui jouent l’un après l’autre. Chaque joueur peut décider à tout moment de continuer ou d’arrêter.

Exemple: Jeu n°9 :

Pour résoudre ce jeu, on part de la dernière branche donc de B, ce dernier va chercher à maximiser son profit et donc va arrêter afin de gagner 3. Une fois que l’on sait cela, on peut déduire que A va quant à lui stopper le jeu quand il gagnera 1 au lieu de 0. La solution de ce jeu est donc Stop (1 ; 1). Le problème est que les joueurs pourraient gagner (2 ; 2), c’est donc une solution sous optimale. Ils n’arrivent pas à gagner (2 ; 2) car la solution optimale n’est pas atteignable si les joueurs jouent de manière rationnelles.

Exemple : Jeu n°16 -> Jeu de Rosenthal :

Pour trouver la solution, on adopte le principe de l’induction à rebours et on commence donc par la fin. C’est à Margaux de jouer, soit elle joue « r », soit « d » -> elle joue donc « d », puis vient Thomas qui lui choisira « D »…

Les joueurs gagnent 1 chacun alors que si ils avaient continué à chaque fois, ils auraient gagné 1000: ils sont piéger par leur propre rationalité.

Il faut donc développer une méthode qui se nomme le « forward reduction » qui consiste en une coopération des joueurs.

Exemple: Economie Industrielle :

Jeu d’entrée :

INTRODUIRE SCHEMA FEUILE.

Un marchand de pizza décide de rentrer à l’université, il fait donc concurrence à l’ancien vendeur de pizza. On peut se demander dans ce cas de figure ce qu’il va se passer, quelle va être la solution du jeu.

Le marchand « M » va lui accepter et non combattre ; l’entreprise « E » va elle accepter car elle gagnera 5 au lieu de 0. On pourrait imaginer que l’entreprise « M » développe une stratégie de menace (combat) afin de conserver son profit de 10, seulement e théorie des jeux cette menace est considérée comme non crédible car une fois l’entreprise rentré, l’entreprise « M » n’a pas intérêt à mettre en place ces menaces.

Exemple: Jeu en information incomplète.

Jeu n°11 : Le Roi et ses Vassaux.

Si le Vassal est fidèle tout va bien pour le Roi, soit il est infidèle est alors le Roi aura 2 choix. Soit il accepte et donc perd de son pouvoir, soit il combat. Le problème est que l’on ne connait pas la nature du Roi, il peut être faible ou fort, et donc gagner son combat avec plus ou moins de succès. Le problème de ce jeu est que l’on ne connait pas le type du Roi et donc le Vassal est dans l’incertitude.

Si le Roi est de type fort certain, le Vassal reste fidèle.

Si le Roi est de type faible certain, l’infidélité du Vassal est acceptée.

La réponse de ce jeu est que l’on peut trouver une solution à ce jeu si on est capable de probabiliser la nature du Roi -> Trois sur Quatre, le Roi est de type fort, et Une fois sur Quatre il est de type faible.

Représenter différemment ce jeu en utilisant le principe de la transformation d’Harsanyi, puis faire une représentation matricielle du jeu sous forme normale.

CF FEUILLE.

Espérance mathématiques des stratégies du