Risque et décision

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L’aversion pour le risque

On considère une loterie X = (200$,1/2 ; -100$,1/2) Combien est-on prêt à payer pour jouer à cette loterie ? Maximum on paye 100€

- On considère une loterie X = (200$,1/2 ; −100$,1/2).

- Combien est-on prêt à payer pour jouer à cette loterie ?

- Cela dépend de notre attitude par rapport au risque.

- Soit u(.), la fonction d’utilité, on compare :

Eu(w + X) = 1/2 u(w + 200) + 1/2 u(w − 100) à u(w)

- La richesse initiale w joue un rôle primordiale dans la propension à accepter un risque.

L’aversion pour le risque (Arrow, Pratt)

Définition

Un individu a de l’aversion pour le risque s’il refuse une loterie d’espérance nulle quelque soit le niveau de richesse considéré. Je préfère ne pas jouer que de jouer.

[pic 8]

Théorème

Un individu a de l’aversion pour le risque si et seulement si sa fonction d’utilité est concave. Démonstration à l’aide de l’inégalité de Jensen : Eφ(X) ≤ φ[E(X)] ssi φ(.) est concave.

Démonstration au moyen d’un développement de Taylor au deuxième ordre.

Prime de risque et équivalent certain

La notion de prime de risque correspond à la somme que l’individu est prêt à payer pour ne pas être soumis à la loterie.

Elle se définie donc par : Eu(w + ̃z) = u(w − Π)

L’interprétation graphique est intuitive.

Lorsque l’individu a de l’aversion pour le risque, la prime de risque est toujours positive. L’équivalent certain correspond à la somme certaine qui rend l’individu indifférent entre accepter ou non une loterie.

Approximation de la prime de risque

La prime de risque est une fonction complexe dépendant de la forme fonctionnelle de l’utilité, de la richesse initiale et de la distribution de probabilité.

Formule de la prime de risque : Approximation d’Arrow-Pratt, valable uniquement pour de petits risques :

[pic 9]

- La prime de risque est approximativement proportionnelle au carré de la taille du risque

Approximation de la prime de risque (démonstration)

Aversion absolue pour le risque

Il est donc impossible d’obtenir une mesure de la prime de risque valable quelque soit l’ampleur du risque.

On retient la courbure de la fonction d’utilité comme une mesure de l’aversion pour le risque, [pic 10] définie la courbure de la fonction d’utilité.

Théorème : Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

- L’agent v a plus d’aversion pour le risque que l’agent u, càd que la prime de risque pour tout risque est plus élevée pour l’agent v que pour l’agent u.

- ∀w, Av(w) ≥ Au(w)

- v est une transformation concave de u, v(.)=phi(u(.))

[pic 11] Il existe d’autres coefficients d’aversion pour le risque, mais le coefficient d’Arrow-Pratt propose le meilleur ratio simplicité/sens.

[pic 12]La notion de tolérance pour le risque se définie comme l’inverse du coefficient d’aversion absolue : T(z) =[pic 13]plus de tolérance=> moins d’aversion

[pic 14] On parle aussi d’aversion relative pour le risque soit

[pic 15]

Qui exprime la notion d’aversion pour le risque d’un point de vue relatif c’est insensible à l’unité de mesure c’est en % de sa richesse, combien ont près à donner en proportion de sa richesse pour jouer ou pas.

Aversion relative pour le risque

L’aversion absolue pour le risque dépend de z. Lorsque z augmente d’une unité alors on peut mesurer la modification de l’aversion pour le risque de l’agent. Plus je suis riche moins j’ai d’aversion pour le risque.

L’aversion relative pour le risque ou

[pic 16] Exprime La notion d’aversion pour le risque d’un point de vue relatif. C’est une mesure insensible à l’unité de mesure qui est généralement employé dans les études empiriques portant sur l’aversion des individus au niveau de risque.

Aversion absolue décroissante avec la richesse

- C’est une hypothèse développée en premier chez Arrow :

- Une fonction d’utilité est dite DARA (decreasing absolute risk aversion) ssi le coefficient d’aversion absolue décroît avec la richesse.

- On retiendra que l’on doit avoir u′′′(.) > 0 pour avoir la condition DARA.

- On peut regarder si les fonctions d’utilité courantes sont DARA ?

Les fonctions d’utilité courantes

CARA (Constant absolute risk aversion), Power utility function, Quadratic utility function

La notion de dominance stochastique : qu’est-ce que plus de risque ?

- La dominance stochastique permet de comparer les risques (distributions de probabilité).

- Elle permet aussi de comparer les décisions des agents lorsque le risque est modifie.

- On peut donc établir quel type de distribution est préféré par quel type d’agent.

La dominance stochastique du premier ordre

Définition : qu’elle risque domine l’autre.

La distribution x domine la distribution y au sens de la dominance stochastique de premier ordre lorsque x est préféré par tous les agents