Lois continues de probabilité

...

Dans la situation décrite ici, la variable aléatoire S ne prend pas un nombre fini de valeurs, car elle peut prendre ses valeurs dans un ensemble infini "continu": l'intervalle [ 0 ; 2 ].

Voyons comment faire pour essayer d'adapter la théorie à cette nouvelle situation.

2) Simulation:

A l'aide d'un tableur, on a simulé un échantillon de dix mille valeurs de S, que l'on a regroupées en classes d'amplitude 0,1 . Le tableau et l'histogramme des fréquences résument les résultats obtenus.

Classes

Fréquences

[ 0 ; 0,1 [

0,005

[ 0,1 ; 0,2 [

0,017

[ 0,2 ; 0,3 [

0,022

[ 0,3 ; 0,4 [

0,034

[ 0,4 ; 0,5 [

0,045

[ 0,5 ; 0,6 [

0,057

[ 0,6 ; 0,7 [

0,064

[ 0,7 ; 0,8 [

0,077

[ 0,8 ; 0,9 [

0,081

[ 0,9 ; 1 [

0,096

[ 1 ; 1,1 [

0,093

[ 1,1 ; 1,2 [

0,089

[ 1,2 ; 1,3 [

0,074

[ 1,3 ; 1,4 [

0,067

[ 1,4 ; 1,5 [

0,059

[ 1,5 ; 1,6 [

0,046

[ 1,6 ; 1,7 [

0,036

[ 1,7 ; 1,8 [

0,026

[ 1,8 ; 1,9 [

0,014

[ 1,9 ; 2 ]

0,005

[pic 12]

L'unité graphique de l'axe des ordonnées a été choisie de telle façon que l'aire de chaque rectangle ait pour mesure la fréquence de la classe correspondante.

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a) Quelle est la somme des aires des rectangles de l'histogramme ?

b) Compléter le tableau ci-dessous en calculant les fréquences :

Événements

S

S  1,5

0,2  S

0,8  S  1,2

0,5

0,75  S  1,75

− 0,2  S  0,2

Fréquences

3) Modélisation:

a)L'histogramme précédent peut être ajusté par la courbe C, réunion des deux segments [OP] et [PQ] où P(1 ; 1) et Q(2 ; 0). Déterminer la fonction f dont la représentation graphique sur [ 0 ; 2 ] est la courbe C.

Que vaut l'aire située sous cette courbe C ?

b) En s'inspirant du calcul des fréquences par les aires de la question 2), exprimer la probabilité de chaque événement du tableau ci-dessous à l'aide d'une intégrale de la forme [pic 13]. Calculer ces intégrales, puis compléter le tableau ci-dessous :

Événements

S

S  1,5

0,2  S

0,8  S  1,2

0,5

0,75  S  1,75

− 0,2  S  0,2

Probabilités

4) Bilan et vocabulaire

On a obtenu une loi de probabilité pour la variable continue S dont l'univers image est l'intervalle [ 0 ; 2 ] en se dotant d'une fonction f continue et positive sur [ 0 ; 2 ] telle que l'aire (en unités d'aire) située entre l'axe des abscisses et la courbe de f soit égale à 1, c'est à dire telle que: [pic 14].

Cette fonction f qui donne la probabilité de tout intervalle [ α ; β ]) ⊂ [ 0 ; 2] par :

p([ α ; β ]) =[pic 15], est appelée densité de probabilité de la loi de S.

On dit que la variable aléatoire S à valeurs dans [ 0 ; 2 ] suit la loi de probabilité p, car on a:

Pour tout x∈[ 0 ; 2 ] : p( 0  S  x ) = [pic 16] .

Or, pour tout x∈[ 0 ; 2 ] , p( 0  S  x ) = p( S  x ) car : p( S

La fonction F définie sur [ 0 ; 2 ] par :

F(x) = p( S  x ) = [pic 17] est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire S.

On peut aisément vérifier qu'elle possède les propriétés:

F est dérivable avec F' = f

F(0) = 0 et F(2) = 1

Pour tout x∈[ 0 ; 2 ] : p( S > x ) = 1 − F(x) .

Pour tout a et b tels que: 0  a  b  2 , on a : p( a  S  b) = [pic