Probabilités (rappels)

...

Pour un événement B quelconque, on a d'après la figure 1

[pic 50]

Figure 1

[pic 51]

Or d'après l'axiome 2 et comme les événements sont disjoints,P(B) peut s'écrire:

[pic 52]

Et comme [pic 53] la relation (1) peut encore s'écrire:

[pic 54]

Cette relation (1 ou 2) est connue sous le nom de ''Loi des probabilités totales"

Application:

Un lycée compte trois classes de terminale. La classe T1, la classe T2 et la classe T3.30% des élèves de terminales sont en T1 ,50 % sont en T2 et 20% sont en T3.

T1 compte 25% de filles, T2 40% de filles et T3 compte 80% de filles.

En choisissant un élève de terminale au hasard, quelle est la probabilité de choisir une fille?

Références :

1- Murray R. Spiegel "Statistique cours et problèmes", 2ème édition

2-J. Trignan "Probabilités Statistiques et leurs applications" édition Bréal

3-G.COSTANTINI http://bacamaths.net/

[pic 55][pic 56]

I°) VARIABLE ALEATOIRE CAS DISCRET :

I . a Définition:

Considérons l'épreuve "lancer deux fois une pièce de monnaie",[pic 57]={FF,PF,FP,PP}.Intéressons nous au nombre de fois où "Face est apparu":

[pic 58]

FF

FP

PF

PP

[pic 59]

2

1

1

O

C'est une application de [pic 60] vers [pic 61] discrète c'est-à-dire elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Définir une variable aléatoire X, c’est associer à chaque évènement élémentaire {ei} d’une épreuve un nombre réel xi.

I- b loi de Probabilité d'une variable aléatoire. :

La variable aléatoire ci-dessus construite définie de nouveaux événements:

(X=0) "Aucune face n'a été tirée" [pic 62]

(X=1) "Une face a été tirée" [pic 63]

(X=2) "2 faces ont été tirées" [pic 64]

X

0

1

2

Prob (X=x)

On appelle loi de Probabilité de la variable aléatoire X la fonction définie par:

[pic 65]

Graphiquement:

[pic 66]

I –c Fonction de répartition :

Définition:

La fonction de répartition da la V.A. X est la fonction F :

R [0,1][pic 67]

[pic 68]

C’est la probabilité cumulée des valeurs jusqu'à [pic 69]

I- d Propriétés :

La fonction de répartition possède les propriétés suivantes :

[pic 70]

I- e. Valeurs caractéristiques :

1) Espérance mathématique :

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2 …xn avec les probabilités p1, p2,…...pn :

Alors l'espérance mathématique de X est

[pic 71]

2) Propriétés :

[pic 72]

3)Variace et écart type :

Définition :

On appelle variance de X le nombre :

[pic 73]

L'ecart type est : [pic 74]

4) Propriétés :

[pic 75]

Exercice :

Dans une banque, un control visuel est effectué sur les chèques pour relever des éventuelles erreurs .Le nombre d’erreurs est régi par la loi suivante :

Nombre d’erreurs

0

1

2

3

4

5

P(X=xi)

0. 23

0. 33

0. 25

0. 13

0. 05

0 01

1°) Déterminer l’espérance mathématique :

2°) Calculer la variance est l’écart type :

[pic 76]

xi

[pic 77]

f (xi)

[pic