Exercices de gestion des risques
Par Orhan • 6 Décembre 2018 • 1 925 Mots (8 Pages) • 628 Vues
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correspond à la situation où l’on n’investit que sur le titre 1 et correspond à la situation où l’on n’ investit que sur le titre 2. varie donc entre 2 et 6 avec la variation correspondante de entre 2/10 et 6/10. [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
2ème cas, [pic 53]
La relation entre et est constituée de deux segments de droite : [pic 54][pic 55]
Si , alors [pic 56][pic 57][pic 58]
Si , alors [pic 59]
[pic 60]
Pour déterminer les extrémités de chacun des deux segments, on procède comme précédemment.
Si , . Les valeurs extrêmes de sont 0 et ¾, elles correspondent à et . Sur le graphique dans le plan (, ) cela correspond aux deux points (6, 6/10) et (0, 3/10).[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
Si , . Les valeurs extrêmes de sont 3/4 et 1, elles correspondent à et . Sur le graphique dans le plan (, ) cela correspond aux deux points (0, 3/10) et (0, 2/10).[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]
On se reportera pour le graphique au fichier Excel.
- Expliquer comment vous procédez pour construire la frontière efficace dans le cas où le coefficient de corrélation ρ entre les rendements des titres vérifie : -1ρ
Solution
Lorsque , les proportions α et (1-α) des deux titres du portefeuille sont choisies de façon à minimiser l’écart-type (ou la variance) pour chaque valeur du rendement espéré du rendement du portefeuille. On obtient ainsi une série de points dans le plan (que l’on appelle la frontière efficace. [pic 75][pic 76][pic 77]
Notations :
, [pic 78][pic 79]
, [pic 80][pic 81]
[pic 82]
Le problème à résoudre est le suivant :
Minimiser
(3)[pic 83]
Sous la contrainte (4)[pic 84]
est un niveau de rendement fixé. [pic 85]
Il s’agit donc pour chaque niveau de rendement attendu fixé de trouver le portefeuille qui correspond au risque minimal.
peut s’exprimer en fonction de à l’aide de la relation (3) :[pic 86][pic 87]
et [pic 88][pic 89]
En remplaçant dans (3), il vient :
[pic 90]
Cette expression peut se mettre sous la forme :
(5)[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
A, B et C sont des constantes positives qui ne dépendent que des caractéristiques des titres.
(5) est l’équation d’une parabole dans le plan (, mais une hyperbole dans le plan (.[pic 95][pic 96]
En résumé, si l’on se fixe une valeur du rendement attendu pour le portefeuille, soit , les proportions des deux titres sont connues d’après la relation (4) et par conséquent, le problème de minimisation est trivial car ne dépend plus alors que de . [pic 97][pic 98][pic 99]
Dans notre exercice avec , par exemple, l’équation (5) s’écrit : [pic 100]
[pic 101]
Pour un niveau de risque mesuré par l’écart-type , on détermine le rendement attendu par ce portefeuille en résolvant l’équation :[pic 102]
[pic 103]
Le discriminant vaut :
[pic 104]
Il y a deux racines , mais un écart-type est toujours positif ou nul, on ne conserve donc que la racine positive. Le discriminant est donc positif si . Cet écart-type est l’écart-type minimal.[pic 105][pic 106]
Dans ces conditions, l’équation donnant le rendement attendu en fonction de l’écart-type s’écrit :
[pic 107]
Les portefeuilles correspondant à la partie inférieure de la frontière efficace correspondent pour un même niveau de risque à un rendement attendu moins élevé :[pic 108][pic 109]
Ces portefeuilles sont dits dominés (courbe orange dans le fichier Excel). Ils ne seront pas retenus car à risque égal, on préfèrera les portefeuilles présentant un rendement plus élevé.
La partie supérieure de la frontière efficace est souvent appelée frontière efficiente (courbe bleue dans le fichier Excel) : elle correspond aux portefeuilles qui pour un risque donné offrent le meilleur rendement.
Le portefeuille de risque minimal peut s’obtenir de deux façons :
- La première est celle déjà utilisée dans l’exercice 3 à la question 3.
- La deuxième consiste à minimiser la variance en la considérant comme une fonction du rendement. Pour cela, on dérive par rapport à la variance dans la relation (5) :[pic 110]
[pic 111]
Il vient [pic 112]
Puis on cherche la valeur de qui annule la dérivée :[pic 113]
[pic 114]
Pour le tracé de la frontière efficace, voir le fichier Excel.
Exercice 5
On considère un portefeuille de marché constitué de 3 actifs risqués. On dispose des éléments suivants :
Actifs
Unités de compte
Cours
Rendement attendu
Ecart-type
A
100
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