Devoir de mathématiques.

...

[m] = M

- expression T0 = 2π[pic 25] :

on a: [T0] = [pic 26] donc [T0] = [pic 27] finalement [T0] = T–1

La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

- expression: T0 = 2π[pic 28]

on a: [T0] = [pic 29] donc [T0] = [pic 30]= L–1/2

La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

- expression: T0 = 2π[pic 31]

on a: [T0] = [pic 32] donc [T0] = [pic 33] = [pic 34]= T.

La période est homogène à une durée, cette expression convient. (0,5 point)

Finalement la seule expression correcte est: T0 = 2π[pic 35]

Partie B : Système solide-ressort.( 30 points)

Un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur k = 4,0 N.m-1. L’ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti.

La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l’axe de celle-ci (voir schéma page suivante).

On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lorsque le solide (S) est à l’équilibre, son centre d’inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l’axe des abscisses. Le solide est écarté de 10 cm de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0 s.

Dispositif expérimental :

[pic 36]

On procède à l’enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe 1 ci-dessous :

[pic 37][pic 38]

[pic 39][pic 40]

[pic 41]

- Étude dynamique en l’absence de frottements.

- Nommer les forces en G s’exerçant sur le solide (S) puis les représenter, sans souci d’échelle, sur l’annexe.(2 points)

Le solide est soumis à trois forces:

- son poids [pic 42]= m.[pic 43] (0.5 pt)

- la force de rappel du ressort [pic 44] ici x>0 donc [pic 45]est opposée à [pic 46]. (0.5 point+0.5 pt)

- la réaction normale de la tige, [pic 47] (0.5 pt)

[pic 49][pic 48]

- En appliquant la deuxième loi de Newton au solide (S), établir l’équation différentielle régissant le mouvement de son centre d’inertie G. (2,5 points)

Le système étudié est le solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. (0.5 pt)

D’après la deuxième loi de Newton appliquée au solide (S): [pic 50] + [pic 51] + [pic 52] = m.[pic 53] (0.5 pt)

En projetant selon l'axe (Ox) : (0.5 pt) 0 – k.x + 0 = m.ax

Or par définition ax =[pic 54](0.5 pt)

Alors – k.x = m. [pic 55]

Finalement: [pic 56] + [pic 57] (1) (0.5 pt)

La solution de l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme :

x(t) = Xm cos([pic 58]+ϕ ). (Xm est l’amplitude et ϕ la phase à l’origine)

- En vous aidant de la courbe 1, déterminer les valeurs de Xm, ,T0 et ϕ.(1,5 point)

D’après la courbe 1 (voir courbe ci-dessus) et le texte : l’amplitude des oscillations est Xm =10 cm et la période des oscillations est T0=1,00 s

Pour t=0 s, x(t) = Xm cos([pic 59]+ϕ )=0 donc cos(ϕ )=0 et donc φ=0 (ou φ=π) (0.5 pt par réponse)

Remarque :

Pour déterminer φ, on doit s’intéresser au signe de la vitesse v=[pic 60]or [pic 61]est le coefficient directeur de la tangente à la courbe.

On a [pic 62]= –Xm. [pic 63].sin([pic 64]+ϕ ).

Pour 0[pic 65]sin([pic 66]+ϕ )>0 et donc φ=0

On a donc x(t) = 10 .cos([pic 67])

- En vous aidant de la question1.2, retrouver l’expression de la période T0 en fonction de m et de k. (2 points)

Exprimons la dérivée de x(t): (0.5 pt)

[pic 68]= –Xm. [pic 69].sin([pic 70]+ϕ )

Exprimons la dérivée seconde de x(t): (0.5 pt+0.5 pt)

[pic 71]= –Xm. [pic 72].cos([pic 73]+ϕ ) = – [pic 74]. x(t)

Donc l’équation différentielle du mouvement s’écrit [pic 75] + [pic 76]. x(t) = 0 ( 2)

En identifiant les équations (1) et (2), [pic 77]= [pic 78] et [pic 79](0.5 pt)

- Calculer la valeur approchée de la masse m du solide (S). Données : π2≈10. (1 point)

A.N [pic 80](0.5 pt expression+0.5 pt A.N)

La masse approchée du solide est 100 g

- Étude énergétique en l’absence de frottements.

Quand un élève déplace le centre d’inertie du solide de la position x = 0 à la position x = Xm, il effectue un travail et fournit au système de l’énergie potentielle élastique.

- Donner l'expression du travail élémentaire dW de la force [pic 81] exercée par l'élève au cours du déplacement élémentaire [pic 82].(0,5 point)

Travail