Devoir de maths.

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= 1 + 1 + 2 + 2

= 6

X1 = ∑_(k=0)^3▒〖x^k 〖*i〗^(-k*1) 〗

= ∑_(k=0)^3▒〖x^k 〖*i〗^(-k) 〗

= 1 * i^0+1* i^(-1) + 2 * i^(-2) + 2 * i^(-3)

= - 1 + 1i

X2 = ∑_(k=0)^3▒〖x^k 〖*i〗^(-k*2) 〗

= 1 * i^0+1* i^(-2) + 2 * i^(-4) + 2 * i^(-6)

= 1 – 1 + 2 + 2

= 0

X3 = ∑_(k=0)^3▒〖x^k 〖*i〗^(-k*3) 〗

= 1 * i^0+1* i^(-3) + 2 * i^(-6) + 2 * i^(-9)

= 1 + 1i – 2 – 2i

= -1 - 1i

|X0|² + |X1|² + |X2|² + |X3|²

= |1|² + |1|² + |2|² + |2|²

= 1 + 1 + 4 + 4

= 10

Oui, ce résultat était prévisible la formule de Bessel est bien vérifiée.

TFD (x0, x1, x2, x3)

= (x0 + x1 + x2 + x3, x0 + x1*e^((-i2π)/4)+ x2 * e^(i2π/4)+ x3 * e^(-i2π/4), x0 + x1 * e^(i2π/4)+ x2 * e^((-i2π)/4) + x3 * e^(i2π/4), x0 + x1 * e^((-i2π)/4) + x2 * e^(i2π/4) + x3 * e^((-i2π)/4))

= (3 + 3 + 6 + 6, 3 + 3*e^((-2iπ)/4)+ 6 * e^(2iπ/4)+ 6 * e^(-2iπ/4), 3 + 3 * e^(2iπ/4)+ 6 * e^((-2iπ)/4) + 6 * e^(2iπ/4), 3 + 3 * e^((-2iπ)/4) + 6 * e^(2iπ/4) + 6 * e^((-2iπ)/4))

= (18, -3 + 3i, 0, -3-3i)

Partie B : Utilisation d’une matrice

Les racines carrées de l’unité sont 1 et -1.

Matrice M carrée d’ordre 2 = A = (■(a&b@y&z))

M = (■(〖ω 〗^(-0*0)&〖ω 〗^(-1*0) @〖ω 〗^(-0*1)&〖ω 〗^(-1*1) )) = ( ■(1&1@1&-i))

N=2

■((1&2)) * (■(1&1@1&-1)) = (3 ; -1)

■((3&4)) * (■(1&1@1&-1)) = (7 ; -1)

■((5&6)) * (■(1&1@1&-1)) = (11 ; -1)

La matrice inverse de M est :

M’= 1/2*(■(1&1@1&-1))

(3 – 2i, -1 + 4i) * (1/2*(■(1&1@1&-1))) = (1 + i, 2 – 3i)

Partie B : Utilisation d’une matrice

Le logiciel utilisé est Xcas.

Nous pouvons obtenir la TFD d’une séquence à l’aide de la commande :

FFT ([a, b])

Z = (2, 2, 2, i, 2, 2, 2, i)  TFD = (12 + 2i, 0, -2 – 4i, 0, 4 – 2i, 0, 2 + 4i, 0)