Bac blanc de mathématiques

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Exo 3 :

1) f(x) existe si 4-2x≥0 soit x ≤ 2

2) Si x≤-3, x+3≤ 0 . Or ≥ 0 pour tout x ≤ 2 (la racine carrée d’un nombre quand elle existe est toujours positive) donc pour tout x≤-3

donc on a bien pour tout x≤-3, x+3≤0 ≤

3) f(x)-g(x) = –(x+3) = –(x+3))( +(x+3)); +(x+3)))

= +(x+3))) = +(x+3))) = +(x+3)))

Soit D = +(x+3) . Si x>-3 alors x+3>0 , de plus pour tout x ≤2,

≥ 0 donc D>0 pour tout -3x ≤ 2

- Si x≤-3 , x+3≤ 0 ≤ donc g(x) ≤ f(x) donc f(x)-g(x)≥0.

De plus pour tout -3x ≤ 2, soit le trinôme du second degré –x2 -8x-5, il est de la forme ax2+bx+c avec a=-1 b=-8 et c= -5 , son discriminant Δ = b2-4ac=64-20 = 44 >0 , Ce trinôme a donc deux racines : x = ;-2))= -4- ou x = ;-2))=-4+, il est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire à l’intérieur .

Or a =-1

x

-3 -4+ 2

D

+ +

–x2 -8x-5

+ 0 -

f(x) – g(x)

+ 0 -

Position des courbes

f(x)>g(x) donc f(x)[pic 8]

Cf est au dessus de Cg Cf est au dessous de Cg

Et pour x=-4+, Cf et Cg se coupent

De plus on savait que si x≤-3 , g(x) ≤0 ≤ f(x) donc Cf est au dessus de Cg

Conclusion : Sur ]- ; -4+[, Cf est au dessus de Cg Sur] -4+ ;2], Cf est au dessous de Cg et pour x=-4+, Cf et Cg se coupent

Exo 4

- (m-2) x2 +5x +7-m est un trinôme de la forme ax2 +bx+c avec a = m-2,b= 5 et c= 7-m

Δ= b2-4ac= 25-4(m-2)(7-m)=25-4(7m-14-m2+2m)=25-28m+56+4m2-8m

= 4m2-36m+81 = (2m-9)2,

on a donc pour tout m, Δ≥0, l’équation(1) : (m-2) x2 +5x +7-m = 0 admet donc toujours au moins une solution. Ou bien 4m2-36m+81 est un trinôme de la forme am2 +bm+c avec

a = 4,b= -36 et c= 81 , Δ= b2-4ac= 362-4481=0 donc le trinôme 4m2-36m+81 n’admet qu’un seule racine m 0 et est toujours du signe de a= 4>0 sauf pour la racine où il s’annule . Donc 4m2-36m+81= Δ est positif pour tout m , l’équation(1) admet donc toujours au moins une solution

- On a vu que Δ= (2m-9)2 donc Δ=0 pour m = , pour m =, l’équation admet donc une solution unique qui est x= - = = =-4)) = - = -1

- 6 est solution si (m-2)(62)+56+7-m=0 soit 36m-72+30+7-m=0soit 35m-35=0

Soit m=1

Autre méthode : on démontre d’abord que -1 est solution pour tout m :

Pour x = -1 on a (m-2) x2 +5x +7-m= (m-2) (-1)2 +5(-1) +7-m= m-2-5+7- m=0

Donc -1 est solution pour tout m

On sait donc que -1 est solution ainsi que 6 donc

(m-2) x2 +5x +7-m = (m-2)(x+1)(x-6)

=(m-2)(x2-5x-6)

=(m-2)x2-5(m-2)x-6 (m-2)

Par identification on obtient : -5(m-2)=5et -6(m-2)=7-m . On a donc -5m+10=5 soit m= 1