Les investisseurs institutionnels.

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la variable X, et on mesure la variable et par la suite on a obtenu les valeurs associées à cette variable pour les (N) individus de l’échantillon.

Ces valeurs qu’on note : x1, x2, x3,……………., xn et qui sont associés en fait à n variables X1, X2, X3,……………, Xn

Qui auront donc la même loi de probabilité, sachant que à chaque variable on peut associer une loi de probabilité et s’il s’agit de variable quantitative on parle donc de fonction de densité ou densité de probabilité.

Et soit f(θ/Xi) la densité de probabilité associée à la valeur X où θ représente les paramètres de la fonction de densité de probabilité. Par exemple la fonction de densité de la loi normale dépend de deux paramètres notamment θ1 = E(x) qui est l’espérance et θ2 = v(x) qui est la variance.

Connaissant la loi de probabilité de X on peut définir la vraisemblance de l’échantillon qui peut être définie comme la probabilité de réalisation des N observations de l’échantillon.

Ces observations sont indépendantes les unes les autres, et ceci nous amène à formuler dans la vraisemblance comme étant la probabilité de réaliser X1, X2, X3,…….., Xn

Soit

 (X = X1) ∩ (X = X2) ……….∩( X= Xn)

Et comme nous l’avons cité dans cette section, les observations sont indépendantes les unes des autres et donc la probabilité de la réalisation de X est égale au produits des probabilité de X1, X2,….., X3

On obtient par la suite la fonction de vraisemblance :

V = Prob (X=X1)* Prob (X =X2) * Prob (X= X3) *……..* Prob (X = Xn)

Or, la probabilité que X soit égale à x, est égale elle même à la fonction de densité de probabilité.

D’où la vraisemblance qui est égale au produit des fonctions de densité. D’où l’expression :

V (θ/x1…….xn)= f(θ/x1)*………..*f(θ/xi)*………*f(θ/xn).

Ce qu’on résume sous la forme suivante

Qui dépend de plusieurs paramètres, par exemple θ1 et θ2 , qu’on cherche à estimer.

Principe :

Disposant de la vraisemblance, on raisonne de la manière suivante :

Puisqu’on a observé l’échantillon, la probabilité de sa réalisation est la plus grande densité maximale. Ce qui va nous conduire à chercher le maximum d’une fonction mathématique

C’est-à-dire rechercher l’expression du paramètre θ qui va maximiser la vraisemblance, on cherche donc :

une fonction = P(x1, x2,…., xn)

Qui est une fonction mathématique des n variables liées aux observations.

Pour maximiser une fonction il faut poser une condition de premier ordre qui consiste à dériver la fonction jusqu’à son annulation. Ensuite une condition de 2 ème ordre qui suppose que la fonction prend une forme négative, pour ne pas se soucier des multiples solutions. ce qui nous permet de conclure que défini est l’unique solution de vraisemblance.

Pour y procéder on dérive la fonction de vraisemblance par rapport à θ et on l’annule.

Le problème qui se pose est qu’on va dériver un produit de fonctions ce qui est relativement compliqué.

Rappelons que la fonction de densité est soit positive ou nulle et par conséquent la fonction de vraisemblance ne peut être que positive ou nulle. C’est pour cela qu’au lieu de calculer la dérivée de la fonction de vraisemblance on va procéder à dériver le log de la fonction.

On passe donc d’une fonction produit vers une fonction somme, on cherche alors:

Soit

REMARQUE 1

Cet extremum est maximum lorsque

d² < 0

Partie ❷ : Présentation générale du modèle simple à variable qualitative binaire :

A. Définition des variables qualitatives binaires :

On utilise l’expression variable dichotomique ou binaire pour désigner une variable qualitative à deux modalités et donc ce que la statistique nomme « attribut à deux modalités » ou « caractère qualitatif à deux modalités ». Souvent représentées par les valeurs numériques : 0 et 1, permettant ainsi de rendre compte de l’occurrence ou non d’un événement.

Exemple 1 :

Yi = 1 si l’individu i est actuellement au chômage

Yi = 0 si cet individu bénéficie actuellement d’un emploi

On veut expliquer pourquoi cet événement se produit (ou, au contraire, ne se produit pas).

A cet effet, on entend croiser les réalisations de la variable binaire Y avec celles d’un certain nombre de variables explicatives Xj dont les réalisations peuvent être indifféremment de nature qualitative ou quantitative. Autrement dit, il s’agit d’expliquer la survenue ou le non survenu d’un évènement.

Dans ce contexte, et dans le prolongement des modèles « standards » pour lesquels les réalisations de Y sont continues, on peut être tenté de postuler l’existence d’un lien de type linéaire entre les réalisations des Xj et celles de Y.

On va voir que cette façon de concevoir la relation X Y pose de sérieuses difficultés de telle sorte que cette relation devra être spécifiée sous une forme moins conventionnelle qui donne naissance à notamment deux types de modélisations : les modèles Logit et Probit

Exemple 2:

L’exemple est celui des élections présidentielles américaines. Supposons l’existence de deux partis politiques, les démocrates et les républicains. La variable dépendante est ici le choix de vote entre deux partis.

On pose :

 y=1 si le vote est favorable au candidat démocrate

 y=0 s’il est en faveur du candidat républicain.

Et les variables utilisées dans le choix du vote sont le taux de croissance du PIB, les taux de chômage et l’inflation,… pour le moment la chose importante à noter est que la variable dépendante est qualitative par nature.

Ainsi,