Développement d’une étude de cas pour l’analyse des comportements par modèles de choix discrets

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est que les fonctions d’utilité soient les meilleures possibles ; pour ce faire, c’est le principe du maximum d’utilité qui est appliqué, comme cela sera expliqué par la suite (voir 2.4). Ces fonctions d’utilité sont constituées d’une partie pouvant être estimée sur le principe du maximum d’utilité et d’une partie aléatoire, car bien entendu, de nombreux attributs ne peuvent pas être observés, notamment ceux liés à la personnalité de l’individu.

Chapitre 1. Contexte 21

En effet, si le choix d’une personne peut s’expliquer en partie par des données concrètes, une partie inconnue du subconscient ne peut être représentée mathéma-tiquement. De plus, les données concrètes utilisées pour la modélisation peuvent subir des erreurs de mesure.

Il faut donc noter que E( ni) = 0 ; en moyenne, la partie aléatoire est nulle.

Pni = P rob (Vni + ni > Vnj + nj, ∀ j 6= i)

Pni = P rob ( nj − ni < Vni − Vnj, ∀ j 6= i)

A partir de cette équation, il est possible de représenter la probabilité que chaque terme aléatoire nj − ni soit inférieur à la quantité Vni − Vnj, et ce, par la fonction de densité f( n) :

Z

Pni = I( nj − ni < Vni − Vnj, ∀ j 6= i) f( n) d n

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Chapitre 2

Aspects théoriques des modèles de choix discrets

2.1 Définition des fonctions d’utilité et suppression des paramètres redondants

Pour illustrer ces concepts, intéressons-nous à un problème classique de choix discrets qui aurait pour but de modéliser le choix entre le bus (b), la voiture (c) et le train (t) pour se rendre au travail. Nous écrirons les équations adaptées à ce contexte afin de bien appréhender les notions présentées ci-après. Dans ces équa-tions, T peut désigner la durée du trajet et M le coût de ce dernier.

Les équations de base sont :

Vb = αTb + βMb

Vc = αTc + βMc

Vt = αTt + βMt

Les coefficients α et β sont estimés afin d’expliciter au mieux le modèle. En tenant compte des parties aléatoires, nous obtenons :

Ub = Vb + b

Uc = Vc + c

Ut = Vt + t

2.1.1 Constantes spécifiques aux alternatives

Tout d’abord, il faut savoir que des constantes caractérisent généralement les fonctions d’utilité. [TRAIN, 2003]

Le rôle de ces constantes est double : il permet d’une part que E( ni) = 0 et d’autre part, il permet une première interprétation sommaire des choix de manière indépendante des autres termes explicatifs.

Chapitre 2. Aspects théoriques des modèles de choix discrets 23

Ceci à condition que ces derniers ne soient pas trop nombreux et que leur moyenne globale soit proche de 0. Par exemple, dans le cadre d’un problème lié à des élections où chaque candidat possède une fonction d’utilité, le candidat possé-dant la plus grande constante est celui qui devrait en principe recueillir le plus de suffrages, les paramètres explicatifs permettent d’affiner la précision et de déter-miner quels électeurs voteront pour quel candidat. [TRAIN, 2003]

Les fonctions d’utilité s’écrivent alors de la manière suivante :

Ub = kb0 + αTb + βMb + b

Uc = kc0 + αTc + βMc + c

Ut = kt0 + αTt + βMt + t

Mais ajouter une même constante à des fonctions d’utilité ne change rien. On dit que ces constantes sont de type Everything else being equal. Le résultat obtenu serait identique à celui-ci si l’on définissait des constantes kb1, kc1 et kt1 telles que kc1 − kb1 = kc0 − kb0 et kt1 − kc1 = kt0 − kc0, ce qui donnerait les équations suivantes :

Ub = kb1 + αTb + βMb + b

Uc = kc1 + αTc + βMc + c

Ut = kt1 + αTt + βMt + t

En appliquant cette propriété, il est alors possible de définir la constante relative à une des alternatives à 0, de sorte que le nombre total de paramètres soit diminué d’une unité. De manière générale, pour n alternatives, n-1 constantes entreront en ligne de compte dans le modèle, la ne étant définie à 0. Dans ce contexte, si c’est la constante relative au bus qui est nulle, nous obtenons les équations suivantes :

Ub = αTb + βMb + b

Uc = kc + αTc + βMc + c

Ut = kt + αTt + βMt + t

Dans la littérature, nous constatons que ces constantes sont souvent appelées ASC_c ou ASC_t. [BEN-AKIVA et al., 2005]

2.1.2 Variables socio-économiques

Les variables pouvant expliquer le choix peuvent dépendre des alternatives en tant que telles (le coût du trajet, sa durée, . . .), mais aussi du preneur de décisions. [TRAIN, 2003] S’il est riche, il est probable qu’il accorde peut-être plus d’impor-tance à un trajet bref qu’à un coût élevé.

Chapitre 2. Aspects théoriques des modèles de choix discrets 24

Illustrons cela par une variable relative au revenu, appelée Y. Les fonctions d’utilité s’écrivent alors :

Ub = αTb + βMb + θb0Y + b

Uc = kc + αTc + βMc + θc0Y + c

Ut = kt + αTt + βMt + θt0Y + t

Les