SYSTEME CONTINU
Par ghkhyc • 23 Mai 2018 • Étude de cas • 4 413 Mots (18 Pages) • 477 Vues
SYSTEME CONTINU
1. Introduction
Les systèmes mécaniques réels sont des systèmes continus. Le système discret est considéré parfois en tant que modèle pour définir une modélisation du système continu. Mais, très souvent, il constitue un passage obligé afin de définir une approximation de la solution du problème continu. En effet, ils sont très rares les cas où l'on sait résoudre directement le problème continu. Nous verrons dans ce chapitre quelques exemples de problèmes continus qui admettent des solutions analytiques. Nous verrons aussi, afin d'apprécier le concept de convergence, le lien qui existe dans un cas particulier entre le problème continu et le problème discret censé l'approcher.
2. Poutre en traction-compression
2.1. Vibrations libres
Nous considérons le problème en vibrations libres (absence des forces extérieures) en traction compression de la poutre représentée en figure 3.1
[pic 1]
[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9][pic 10][pic 11]
Figure 3.1: Poutre en traction-compression
La poutre de longueur L est constituée d'un matériau élastique linéaire de module d'Young E, elle admet une masse volumique [pic 12] et une aire de section droite uniforme S.
Lorsque seule la traction compression de la poutre est supposée se produire. On cherche le déplacement u(x,t) .
L’équilibre dynamique d'une part d'un élément de la poutre, figure 3.2, permet d’écrire :
[pic 13] (3.1)
[pic 14]
Figure 3.2: Forces agissant sur un tronçon élémentaire de la poutre
Qui devient :
[pic 15] [pic 16] L’équation d’équilibre local (3.2)
Les conditions initiales :
[pic 17]
[pic 18]
Les conditions aux limites possibles :
- Déplacement imposé nul aux extrémités :
[pic 19] et/ou u(L,t)=0
-Effort imposé nul aux extrémités :
[pic 20] et/ou [pic 21]
2.2.Fréquences et modes propres :
En anticipant la notion de mode propre, cherchons les solutions particulières de l'équation (3.3) qui sont à la fois synchrones et bornées. Ce qui permet de considérer la séparation des variables sous la forme
[pic 22] (3.3)
En substituant (3.3) dans (3.2), il vient
[pic 23] (3.4)
où il faut remarquer que le premier membre ne dépend que du temps, alors que le deuxième ne dépend que de l'espace et que la seule possibilité pour qu'ils soient tous les deux égaux quelque soit t et x est qu'ils soient égaux à la même constante. La constante est par ailleurs choisie strictement négative afin de satisfaire à l'obligation d'une solution qui reste bornée dans le temps.
D'où le système
[pic 24] [pic 25] (3.5)
Ce qui donne :
[pic 26]
(3.6)
Les constantes A, B, C et D sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites.
2.3. Exemples
Poutre encastrée-libre
[pic 27]
Figure 3.3: Poutre encastrée-libre en traction-compression
Les conditions aux limites :
[pic 28] et [pic 29]
Les conditions aux limites sont:[pic 30] qui exprime l'encastrement et [pic 31] qui exprime que l'extrémité est libre donc ne subissant aucune force, aucune contrainte et aucune déformation. Sachant que la solution de (3.5) s'écrit
[pic 32]
[pic 33] (3.7)
les conditions aux limites précédentes permettent d'obtenir :
(3.8)[pic 34]
En remarquant qu'il faut écarter le cas où [pic 35] car il correspond à la solution triviale [pic 36], l’équation (3.7) entraîne
[pic 37] (3.9)
Ici on se contente de prendre les solutions qui correspondent à [pic 38] car cette quantité définit le nombre d'onde qui est la quantité spatiale analogue à la pulsation[pic 39].
...