Développements limités
Par Ramy • 12 Juin 2018 • 1 551 Mots (7 Pages) • 319 Vues
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II- Opérations sur les DL: a- DL d’une somme:
Si f (x ) = Pn (x )+ x n ε (x ) et g (x ) = Q n (x )+ x n ε (x ) alors
(f (x )+ g (x )) = ( Pn (x )+ Q n (x ))+ x n ε (x )
- 14 -
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Exemple: Soit f
(x ) = e x
+ ln (1+ x ).
DL 30 f ?
e x = 1 + x +
x 2
+
x 3
+ x 3ε
(
x
)
et ln 1+ x
)
= x −
x 2
+
x 3
+ x
3ε
(
x
)
2
3!
(
2
3
Par suite, f (x )
= 1 + 2x +
x 3
+ x 3ε (x )
2
b- DL d’un produit:
Si f (x ) = Pn (x )+ x n ε (x ) et
g (x ) = Q n (x )+ x n ε (x ) alors (fg )(x ) = H n (x )+ x n ε (x )
où H n (x ) est obtenue en faisant le produit de
Pn (x )
par Q n (x )
et en ne gardant que les
termes de degré inférieur ou égal à n .
Exemple: Soit f
(x ) = e x ln (1+ x ).
DL 20 f ?
e x = 1 + x +
x 2
+ x 2ε
(
x
)
et ln 1+ x
)
= x −
x 2
+ x 2ε
(
x
)
2
(
2
Par suite, f (x )
= x +
x 2
+ x 2ε (x )
2
c- DL d’un quotient:
Si f (x ) = Pn (x )+ x n ε (x ) et
g (x ) = Q n (x )+ x n ε (x ) et
g
ne s’annule pas au voisinage
de 0 alors ⎜⎛
f
⎟⎞(x
) = H n (x ) + x n ε (x
) où H n (x )
est
obtenue
en faisant la division
⎝ g ⎠
de Pn (x ) par Q n (x ).
suivant les puissances croissantes de x
Exemple: Soit f
(x ) =
ln (1+ x )
.
DL 20 f
?
e x
f (x ) = x −
3
x 2
+ x 2ε (x )
2
d- DL d’une fonction composée:
Si f (x ) = Pn (x )+ x n ε (x ) où Pn (x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n
[pic 9]
et g (x ) = Q n (x )+ x n ε (x ) où Q n (x ) = b1x + b 2 x 2 +
+b n x n alors
(fog )(x ) = a0 + a1Q n (x )+ a2 (Q n (x ))2 +
+ an (Q n (x ))n + x n ε (x )
où dans (Q
n
( x ))k on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à n .
Exemple: ∙ Soit f (x ) =
e x
.
DL 20 f ?
On a e x = 1 + x +
x 2
+ x 2ε (x
).
2
On pose u = x +
...