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Explication :

M (x) est positif pour x élément de ]7,15] donc M est croissante sur ]7,15] .

M (x) est négatif pour x élément de ]0,7] donc M est décroissante sur ]0,7] .

3º) Pour quelle valeur de x, le coût moyen unitaire est-il minimum ? Que vaut ce coût moyen unitaire ?

La dérivée M' s’annule en 7 et change de signe. Il y a donc un extremum en x = 7. On peut préciser que cet extremum est un minimum puisque M'(donc M est décroissante) puis M' > 0 (donc h est croissante).

En x=7 le coût moyen unitaire est minimum.

[pic 52]

4º) On appelle coût marginal pour x centaines, le coût de fabrication de la (x +1)e centaine quand on a fabriqué x centaines. Ce coût marginal est approximativement égal à la dérivée de la fonction C.

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Antérieurement on avait obtenu :

Par conséquence on vérifie que [pic 56][pic 57]

↔ ↔ [pic 58][pic 59][pic 60]

↔ Par conséquence si C'(x)=M(x) → C'(x)-M(x)=0 soit M'(x)=0[pic 61]

5º) Sur le graphique Nº 1, on a représenté les fonctions C' et M.

D’après ce graphique, comment retrouve-t-on le résultat de la question précédente ?

[pic 62]

Dans le graphique, lorsque la courbe M coupe la courbe C', c'est-à-dire, lorsque M=C', M présent un minimum.(point A)

Dans ce point la courbe M passe de décroissante à croissante, donc la pente de la tangente en ce point à la courbe M est nulle.

Par conséquence, comme M' est la pente de la tangente à la courbe M, en ce point où M=C', M' = 0.[pic 63]

Si on décide de fabriquer 700 coffrets, combien coûterait la fabrication d’une centaine de coffrets supplémentaires ?

On doit calculer M'(x) lorsque x=700

[pic 64][pic 65]

Même question si on décidait de fabriquer 1000 objets ?

[pic 66]

PARTIE B

1º) En utilisant le graphique :

a) Pour quelle position de la droite du chiffre d’affaire par rapport à la courbe du coût total obtient-on un

résultat d’exploitation positif ?

Dans quel intervalle faut-il choisir x pour que le résultat d’exploitation soit positif ?

On obtiendra un résultat d'exploitation positif quand la droite du chiffre d'affaire passe au dessus de la courbe du coût total.

C'est-à-dire, entre A et B, ou approximativement l'intervalle ]3,4 ; 11,2[

[pic 67]

b) Déterminer approximativement la valeur de x pour laquelle le résultat d’exploitation est maximal. (Décrire votre démarche)

Le résultat d'exploitation sera maximal lorsque l'écart entre la droit et la courbe soit maximal et la droite du chiffre d'affaire passe au dessus de la courbe du coût total . Cet écart est maximal approximativement quand x=8

2º) Vérifier que la dérivée de la fonction s’écrit : h'(x) = – 3x² + 24x

[pic 68]

[pic 69]

3º) Déterminer le tableau de variation de h (pour x ∈ ]0 ;15]).

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

h(x)

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

h'(x) =0 lorsque X=8

h'(x) >0 pour x

h'(x)8 donc h décroissante pour x>8

En x=8 ,h' passe du positif au négatif, c'est-à-dire, il y a un maximum en x=8.

4º) Représenter graphiquement la fonction sur le graphique précédent.

[pic 70]

5º) Expliquez comment on retrouve les résultats obtenus graphiquement dans la question 1.

Comme cela a déjà été indiqué, on obtiendra un résultat d'exploitation positif quand la droite du chiffre d'affaire passe au dessus de la courbe du coût total.

C'est-à-dire, entre