Porfolio management.

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D) Loi fondamentale sous contrainte

a) Rentabilité espérée du portefeuille sous contraintes

Les gestionnaires de portfeuille utilisent rarement le poids des actifs optimisé de façon brute. A la place ils optimisent le vecteur des rendements espérés et la matrice de covariance avec plusieurs contraintes telles que le risque du portefeuille sous gestion active ne peut dépasser le risque « ex ante » , de plus les contraintes du marché ( contraintes de tailles d’actifs, liquidité etc..) tout cela amène à un poids des actifs qui diffère du poids .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Nous avons ici de plus deux restrictions. La première est que la somme du budget doit être à 0, la seconde est que le risque du portefeuille sous gestion active et sous contrainte égale le risque au risque sans contrainte afin de pouvoir élaborer des comparaisons. Ainsi = = [pic 48][pic 49][pic 50]

Nous avons toujours

) = =[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Posons TC qui est le coefficient de transfert et qui représente la corrélation entre le rendement résiduel espéré des actifs et le poids des actifs au sein du portefeuille sous gestion active.

TC= [pic 55]

donc

) = TC[pic 56][pic 57]

En comparant cela à l’équation obtenu plus haut sans contrainte nous constatons que l’impacte de la contrainte est présente dans ce coefficient de transfert.

b) Rentabilité réalisée du portefeuille sous contraintes

Commençons par définir la variable c= qui est un vecteur N*1 définit par les poids délestés sur chaque actifs comparativement au poids optimal trouvé en partie 1.[pic 58]

La somme des éléments de la matrice c est égale à 0 car elle répond à l’optimisation sous contrainte.

De nouveau nous avons = = [pic 59][pic 60][pic 61]

=(TC+ )D[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

Nous avons ici la décomposition entière du rendement du portefeuille sous gestion active selon des paramètres qui mesurent le signal de performance, l’impacte espéré et réalisé des contraintes et le rendement réalisé des actifs ajustés par la matrice de covariance.

Nous pouvons réarranger cette équation en

=TCD + )D= Signal contribution + Noise contribution[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Avec l’esperance du bruit égale à 0. Cette décomposition donne au gestionnaire d’actifs des indices sur les paramètres pouvant affecter sa performance telle que les contraintes sur le portefeuille.

E) Largeur d’échantillon et génération d’alpha

Notons à présent que N représente l’univers d’investissement mais n’est pas forcément équivalent à la notion de largeur d’échantillon. La largeur d’échantillon est en effet dure à mesurer en pratique lorsque les rendements résiduels sont corrélés entre eux comme c’est le cas au sein de la matrice de variance covariance.

L’analyse de la largeur d’échantillon peut se faire sous l’hypothèse du « factor based risk model ». Par exemple, dans une matrice de covariance non diagonale, la taille d’échantillon est égale au nombre d’actifs tel que le vecteur alpha soit parfaitement orthogonal à chaque élément du « risk model ».

Alors que le nombre d’actifs est le paramètre employé dans cet article, le concept de largeur d’échantillon associé a la théorie fondamentale en gestion active mérite cependant quelques commentaires.

Comme nous l’avons vu partie C)a), l’information ratio pour un portefeuille sans contrainte est donné par IR= donc [pic 72]

Breadth = ou IC est le « information coefficient » utilisé pour générer l’alpha des actifs. Dans la théorie de Grinold’s comme la matrice de variance covariance est diagonale, la largeur est le nombre d’actifs du portefeuille. Cependant ce concept de largeur d’échantillon est plus ambiguë est moins important dans le cas d’une matrice non diagonale.[pic 73]

Comme la largeur est calculée selon « l’information ratio » dans le cas du portefeuille sans contrainte, la présence des contraintes dans le monde réel réduit la notion de largeur à une partie incluse dans le « transfert coefficient » TC.

En pratique, la plupart des gérants classent les actifs selon des méthodes de scoring sans faire référence aux corrélations résiduel présentent sans le modèle de risque. En d’autres termes, les valeurs de la matrice sont données par le gérant sans que ce dernier n’évoque les valeurs en dehors de la diagonale de la matrice . [pic 74][pic 75]

Bien que répandue, cette pratique n’est pas valable s’il existe des corrélations entre les rendements résiduels. Nous introduisons donc la génération d’alpha analogue à l’existence d’une matrice de variance covariance non diagonale définissant le coefficient d’information et de transfert.

Selon Grinolds, le vecteur alpha est égal à ICS avec S une matrice N*1 d’espérance nulle et de variance 1. [pic 76]

L’avantage de la matrice de variance covariance non diagonale est que la « largeur » est en générale égale au nombre d’actifs. La méthode de Grinold nécessite également le calcul de « l’information ratio » qui est par définition dépendant de la méthode de génération de l’alpha. Ainsi pour résumer, la largeur d’échantillon et l’information ratio sont codépendant dans la génération de la matrice alpha. Ici dans le cas de la matrice de variance covariance, cette largeur peut être décrite par le nombre d’actifs, le processus de génération d’alpha étant intrinsèque à la matrice de variance covariance non diagonale.

Section 2 : Notre étude

A : Données initiales et explications

Afin de donner un exemple numérique à cette théorie, nous avons décider de procéder comme dans l’article en prenant comme indice le EAFE international composé des indices de 21 pays et du MSCI World composé de 23 Pays.

Nous calculons dans un premier temps les rendements pour chaque