Mathématiques financières

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n =(30 13 31 30 30− )+ + +

=108

I = C360000 × ×t n 600036000×t ×108 = 81 t = 4,5%[pic 8]

Application A.5 : Calculer le taux effectif de placement d’une opération qui consisterait à placer à intérêts précomptés, au taux de 6 %, un capital de 10 000 € pendant 8 mois.

Intérêts fournis par le placement :

I = C0 × ×t n = 400[pic 9][pic 10]

1200

Capital effectivement placé : 10000 − 400 = 9600

I = C0 × ×t n = 400[pic 11][pic 12]

1200 t = 6,25%

3. Le taux moyen de placement.

On envisage différents capitaux : C C1, 2,...,Ck

Placés à des durées différentes :

Et à des taux différents :

n n1, 2,...,nk t t1 2, ,...,tk

On appellera t le taux qui, appliqué à différents capitaux et à leur durée correspondante, produira le même intérêt global que celui à partir des taux initiaux respectifs. [pic 13]

Application A.6 : Deux capitaux de 10 000 € et 25 000 € sont placés respectivement à 4 % pendant 3 mois et 5.5 % pendant 9 mois. Calculer le taux moyen de placement.

D’abord calculons Cn pour chaque placement :

Cn == CC00 ++I 36000× × CCnn21 ==10000 125000 1 + 120041200×3 = 10100 Σ= 36131,25 C t n + 5,5×9= 26031,25

Calculons I = Cn −C0 :

I ==1131,2536131,25€ −(25000+10000) [pic 14]

Cherchons maintenant le taux :

C0 × ×t n 1200[(10000× +3) (25000×9)]=1131,25[pic 15][pic 16]

-

=

1200 t ≈ 5,32%

20 000 €

Au taux de 7.5 %

Du 22 mai au 19 juin

45 000 €

Au taux de 10 %

Du 22 mai au 16 août

70 000 €

Au taux de 8 %

Du 22 mai au 27 juillet

Application 1 : Une entreprise a placé dans divers établissements bancaires, les sommes suivantes :

- Calculer le taux moyen résultant de l’ensemble des placements.

Cn1 = 20000 1 + 736000,5×28= 20116,7

Cn2 = 45000 1 + 1036000×86= 46075 Σ =137218,4

Cn3 = 70000 1 + 360008×66 = 71026,7

I1 = 137218,4 −(20000 + 45000 + 70000)= 2218,4

[pic 17][(20000×28) (+ 45000 86× ) (+ 70000×66)]= 2218,4 1200

t ≈ 8,82%[pic 18]

- Une banque propose de placer 135 000 € au taux moyen pendant la durée moyenne de placement, l’entreprise doit elle accepter ?

n = [pic 19] = 60 jours

- = C360000 × ×t n I2 = 13500036000×8,82×60 =1984,5[pic 20]

L’entreprise n’accepte pas car I2 I1.

- Pendant combien de temps faut il placer 135 000 € au taux moyen pour obtenir la même somme globale d’intérêts que précédemment ?

- = C360000 × ×t n 13500036000×8,82×n = 2218,4 n = 67,03 ⇒ 68 jours[pic 21]

B – L’escompte.

- La notion d’escompte commercial.

L’entreprise cliente reçoit de sa banque le montant de l’effet diminué de l’agio. L’agio comprend l’intérêt (appelé escompte), des commissions diverses et de la TVA. L’escompte est calculé selon le principe de l’intérêt simple.

V

Valeur nominale

t

Taux d’escompte

n

Durée en jours

e

Escompte

a

Valeur actuelle commerciale

e = V36000×t ×n a =V − e

Le taux d’escompte varie selon la qualité du client. L’escompte n’est jamais soumis à la TVA.

- La pratique de l’escompte.

Diverses commissions sont appliquées par les banques :

- Commission ENDOS (endossement), qui sert à rémunérer le service rendu par la banque. Cette commission est calculée prorata temporis (en fonction du temps), et elle n’est pas soumise à la TVA. Cette commission est systématique.

- Les commissions de service ou de manipulation : ces commissions sont variables selon les établissements financier et selon la nature de l’effet.

Ces commissions sont généralement forfaitaires et soumises à la TVA. Le coût réel de l’escompte sera représenté par l’agio hors taxe, puisque la TVA est récupérable.

La notion de taux réel de l’opération d’escompte : calculer ce taux consiste à rechercher le taux d’un emprunt qui aurait le même montant, la même durée et le même coût que le crédit d’escompte (pour calculer ce taux, on se base sur l’année de 365 jours). La durée réelle est obtenue par comparaison entre l’escompte et l’encaissement, en retenant les deux dates extrêmes.

Ce taux réel est très fréquemment bien supérieur au taux annoncé, du fait notamment