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2) Calculer ,

Calculer sous forme d'une combinaison linéaire des matrices I et J.

- Déterminant d'une matrice

- Définition

A une matrice carrée on associe une valeur numérique que l'on appelle déterminant de la matrice et que l'on note [pic 3].

- Calcul

Matrice carrée d'ordre 2 :

Matrice carrée d'ordre n

Exemple avec une matrice carrée d'ordre 3

Soit la matrice :

On peut utiliser la règle de Sarrus représentée par le schéma suivant :

[pic 4]

On effectue la somme des produits des termes sur les diagonales à 3 éléments en changeant le signe des produits des éléments reliés par un trait plein (diagonales ascendantes) :

---------------------------------------------------------------

- Propriétés des déterminants

1 - Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux matrices

2 - Le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée

3 - Le déterminant est nul si :

2 lignes ou deux colonnes sont égales,

Une ligne (ou colonne) est une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes).

4 - Le signe du déterminant change si l'on permute 2 lignes (ou colonnes)

5 - Le déterminant ne change pas si l'on ajoute à une ligne (ou colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes)

6 - La multiplication d'une ligne (ou colonne) par un nombre entraîne la multiplication du déterminant par ce nombre

7 - La multiplication d'une matrice d'ordre n par un nombre

8 - Une matrice carrée est régulière (inversible) lorsque son déterminant est différent de 0.

- Inversion d'une matrice

Une matrice carrée [pic 5] est dite régulière (inversible) s'il existe une matrice carrée notée qui vérifie .

- Méthode des pivots

Obtention de la matrice inverse :

- Calcul du déterminant de [pic 6], celui-ci doit être différent de 0.

- Écrire un tableau

- Par des transformations sur les lignes, amener ce tableau à devenir .

Voir pour l'application de cette méthode (de manière plus complète) l'exemple présenté ci-dessous concernant la résolution d'un système d'équation par la méthode du pivot.

- Résolution d'un système d'équations linéaires

- Système de Cramer

Un système linéaire de n équations à n inconnues peut s'écrire sous forme matricielle. Soit le système suivant : ,

Ce système peut s'écrire : A X = B avec .

Ce système est dit de Cramer si le déterminant de A (matrice du système) est différent de 0.

Si le déterminant de A est différent de 0, il admet une solution unique :

La matrice A ci-dessus est la même que celle proposé à titre d'exemple d'inversion matricielle (ci-dessus). La solution du système est donc :

- Méthode du pivot de Gauss

Étant donné un système d’équations linéaires, on obtient un système équivalent (c’est à dire ayant le même ensemble de solutions) lorsque l’on applique l’une des deux opérations suivantes :

- multiplication des deux membres d’une équation par un nombre non nul ;

- remplacement d’une équation par :

[l’équation elle même] ± [un multiple d’une autre équation du système]

Concrètement, cette méthode consiste à obtenir un système triangulaire équivalent au système proposé en utilisant les trois opérations suivantes :

Permutation de deux lignes,

Multiplication d'une ligne par un réel non nul

Addition d'une ligne au multiple d'une autre ligne.

- Exemple

Nous avons vu que la recherche de la matrice inverse peut se faire en partant d’un tableau que l’on va transformer (à l’aide des opérations précédentes) pour obtenir un tableau .

La résolution d’un système d’équation peut se faire, à l'aide des mêmes opérations, en posant le système sous la forme [pic 7] que l’on transforme pour obtenir un tableau [pic 8], (S étant la solution du système).

À titre d’exemple nous allons partir du tableau et l'amener sous la forme ,

Nous lisons le résultat dans la première colonne : .

- Exercice

Une usine fabrique 3 articles X, Y et Z; chaque article passe dans trois ateliers différents A1, A2 et A3 suivant la répartition horaire suivante :

A1

A2

A3

X

2

5

3

Y

1

3

2