La fonction exponentielle.

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limite pour tout x et que la fonction que l’on obtient est bien dérivable et égale à sa dérivée.

Démonstration[1]

Lemme 1. — Si h > –1 et x > –n, alors

{\displaystyle u_{n+1}(x+h)\geq (1+h)u_{n}(x).} {\displaystyle u_{n+1}(x+h)\geq (1+h)u_{n}(x).}

En effet, en fixant h > –1 et en dérivant la fonction

{\displaystyle ]-n,+\infty [\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\frac {u_{n+1}(x+h)}{u_{n}(x)}},} {\displaystyle ]-n,+\infty [\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\frac {u_{n+1}(x+h)}{u_{n}(x)}},}

on trouve qu’elle atteint son minimum pour x = nh, or sa valeur en ce point est 1 + h.

Convergence de la suite (un(x)). — Soit un entier N > |x|. D’après le lemme 1 (appliqué à h = 0), les suites (un(x))n≥N et (un(–x))n≥N sont croissantes, or elles sont strictement positives et leur produit est majoré par 1. Ceci prouve que la suite (un(x))n≥N est croissante et majorée (par

1

/

uN(–x)

), donc convergente. Notons exp(x) sa limite.

Lemme 2. — Si |h| < 1, alors

{\displaystyle h\exp(x)\leq \exp(x+h)-\exp(x)\leq {\frac {h}{1-h}}\exp(x).} {\displaystyle h\exp(x)\leq \exp(x+h)-\exp(x)\leq {\frac {h}{1-h}}\exp(x).}

La première inégalité se déduit du lemme 1, et la seconde se déduit de la première en remplaçant h par –h et x par x + h.

Conclusion. — D’après le lemme 2, pour tout réel x, exp’(x) existe et est égal à exp(x).

Une telle fonction f est unique et ne s’annule jamais :

Ces deux propriétés sont, elles aussi, garanties par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Une preuve plus spécifique (utilisant l’existence de f) est donnée dans le § « Par une équation différentielle » de l’article sur l’exponentielle de base quelconque.

La sous-tangente est constante

La tangente au point d’abscisse x a pour équation {\displaystyle Y=\exp(x)(X-x)+\exp(x)} Y=\exp(x)(X-x)+\exp(x) et coupe l’axe des abscisses pour X vérifiant l’équation

{\displaystyle \exp(x)(X-x)+\exp(x)=0\Leftrightarrow X-x+1=0\Leftrightarrow x-X=1.} \exp(x)(X-x)+\exp(x)=0\Leftrightarrow X-x+1=0\Leftrightarrow x-X=1.

À partir de la fonction logarithme népérien Modifier

Définition — La fonction exp, de ℝ dans ℝ*+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, et de limites infinies aux bornes, elle définit une bijection de ℝ*+ sur ℝ. Sa réciproque est une fonction f définie sur ℝ vérifiant f(0) = 1 car ln(1) = 0. La fonction ln étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout réel x,

{\displaystyle f’(x)={\frac {1}{\ln ’(f(x))}}=f(x).} f’(x)={\frac 1{\ln ’(f(x))}}=f(x).

Caractérisation algébrique Modifier

Article détaillé : § « Par la propriété algébrique » de l’article sur l’exponentielle de base a.

La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l’on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur a en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base a. On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base e.

Définition — La fonction exp est l’unique fonction continue de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c’est-à-dire vérifiant l’équation fonctionnelle

{\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {R} ,~f(u+v)=f(u)f(v)} \forall u,v\in