Fonctions linéaires

...

La dépense totale pour x livres empruntés est : 1,5 x + 8

La dépense totale est donnée par la fonction affine f telle que :

f : x [pic 21][pic 22] 1,5 x + 8 c'est à dire : f(x) = 1,5 x + 8

[pic 23][pic 24]

Les variations de x et les variations de f(x) sont des nombres proportionnels.

Le coefficient de proportionnalité est 1,5. Il est donc égal au coefficient a de la fonction affine f.

2/ Par une fonction affine g le nombre 2 a pour image 4 et le nombre 4 a pour image 5.

Déterminer l’expression algébrique de la fonction g.

g est une fonction affine donc g(x) est de la forme a•×•x + b .

Les informations données dans le texte permettent d'écrire deux équations :

g(2) = 4 (1)

g(2) = 4 (2)

a•×•2 + b = 4 (1) ו2a•×•4 + b = 5 (2)

4a + 2b = 8 (1)

4a + b = 5 (2)

(1) a•×•2 + 3 = 4

2a = 1a = 0,5

Par soustraction membre

à membre on obtient :

b = 3

g est la fonction affine de coefficient 0,5 et de terme constant 3 :

g : x [pic 25][pic 26] 0,5 x + 3 c'est à dire : g(x) = 0,5 x + 3

Représentation graphique d’une fonction affine(dans le plan muni d’un repère)

C’est toujours une droite non parallèle à (Oy).

Exemple :

Considérons la fonction f telle que : f(x) = – 2 וx + 3.

Déterminons trois points de la droite Δf d'équation :y = – 2 וx + 3

A

B

C

x

0

4

–1

y ou f(x)

3

– 5

5

La fonction linéaire g qui à tout nombre x fait correspondre le nombre – 2 וx est appelée fonction linéaire associée à la fonction affine f.

La droite Δ f d'équation y = – 2 x + 3 est parallèle à la droite Dg d’équation y = – 2 x .

[pic 27][pic 28]

Vocabulaire :

Dans f(x) = a x + b ou y = a x + b le nombre a est appelécoefficient directeur (de lui dépend l'inclinaison de la droite), et le nombre b est appelé ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec (Oy).

[pic 29][pic 30]

Propriété des fonctions affines :

Quand f est une fonction affine non linéaire, les valeurs de x et les valeurs correspondantes de f(x) ne sont pas proportionnelles, mais les variations de x et les variations correspondantes de f(x) sont des nombres proportionnels.

On peut dire que les écarts sont proportionnels.De plus le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient de x dans l'expression algébrique de la fonction f.

On en déduit les formules permettant de calculer le coefficient d'une fonction affine f :

A partir de deux nombres x1 et x2 et de leurs images par f :

a = [pic 31][pic 32]

A partir de deux points A et B de la représentation graphique de f :

a = [pic 33][pic 34]