Statistique générale

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[pic 5]

E(x + α) = Ex + α

E(x - α) = Ex - α

E(Kx) =xE(K) avec K appartenant à l’ensemble des réels

[pic 6] avec m et σ appartenant à l’ensemble des réels

∙ Variance et écart type

Soit X une variable aléatoire sur Ω et m = E(X)

La variance X notée V(X), l’espérance mathématique de [X-E(X)]²

V(X) = E[X – E(X)]²

[pic 7]

V(X) = E(X²)-[E(X)]²

Propriétés :

V(X + α) = V(X - α) = V(X)

V(K α) = K² V(α)

[pic 8]

Ecart type : σ(X) = Racine V(X)

∙ Remarque

Soit X : la variable aléatoire, E(X) l’espérance mathématique, σ(X) l’écart-type, alors la variable aléatoire T = (X - E(X))/ σ(X) tel que E(T) = 0 et σ(T) = 1 est appelée variable aléatoire centrée réduite associée à X

I.1.6. Inégalité Bienaymé Tchebychev

Soit X valeur aléatoire à valeurs réelles et Ω l’univers des possibilités et t appartenant à l’ensemble des réels positifs.

But : Estimation de la probabilité pour que la valeur de X soit hors de l’intervalle [E(X)-t ; E(X)+t] par majoration de cette probabilité

P(|X-E(X)|≥t) ≤ V(X) / t²

Exemple jet d’un dé, E(X) = (1x1/6)+(2x1/6)+(3x1/6)+(4x1/6)+(5x1/6)+(6x1/6) = 3,5

V(X) = (1/6)x(1²+2²+3²+4²+5²+6²)-3,5² ≈ 2,92

t = 2, P(|X-E(X)|>2)

|X-E(X)|>2 d’où X5,5

P[(X=6 ou X=1)]=1/3 ≈ 0,33

I.1.7. Loi Binomiale

Epreuve binomiale : Toute épreuve aléatoire ne pouvant conduire qu’à la réalisation de deux événements complémentaires succès p, échec q = 1-p.

Suite binomiale est une suite de n épreuves binomiale qui satisfait trois conditions :

- le nombre n des épreuves est fixé à l’avance

- toutes les épreuves sont indépendantes et effectuées dans les mêmes conditions

- la probabilité p d’obtenir un succès est constante d’une épreuve à l’autre

Loi binomiale : Soit la suite binomiale de n épreuves où pour chaque épreuve la probabilité d’un succès est p, celle d’un échec est q (q = 1 - p), soit X la variable aléatoire donnant le nombre de succès en n épreuves, sa loi de probabilité est loi binomiale : P(X=k) = C kn pk qn-k

E(X) = np, V(X) = npq, σ(X) = √(npq)

I.2. Variables aléatoires discrètes infinies

I.2.1. Variable de Poisson

Soit X variable aléatoire discrète infinie à une valeur dans N et Ω l’univers infini des possibilités.

On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ є [pic 9] si quel que soit k entier, P(X=k) = e-λ λk/k !

I.2.2. Loi Poisson approximant une loi Binomiale

On fait une approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson [pic 10] avec λ = np quand n ≥ 30, p ≤ 0,1 et np

I.3. Variables aléatoires continues

I.3.1. Définition

∙ Densité de probabilité

Fonction f définie sur R continue sur R ou sur un intervalle fermé de R en dehors duquel elle est nulle est dite densité de probabilité

- si f(t) ≥ 0 quelque soit t ϵ I c R

- et si [pic 11]

∙ Variable aléatoire continue

Soit X une variable aléatoire continue de fonction de répartition F alors :

- pour tout réel x, la fonction f définie sur R par f (x) = F'(x) est une densité de probabilité appelé densité de probabilité de X

- on a pour tout réel x : [pic 12]

[pic 13] pour tous réel a et b tel que a

P(a

La fonction de répartition F est continue et croissante sur R

[pic 14]

Sur tout intervalle où f est continue, F est dérivable et F’=f.

E(x) = ∫+∞-∞ x p(x)dx ; V(x) = ∫+∞-∞ x²f(x)dx - E²(x)

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi normale N(m,σ) centrée réduite f(t) = Π(t) = P(x ≤ t) : T = (x-m) / σ suivant cette loi normale centrée réduite N(0,1) :

p(X > x) = p(T > (x - m)/ σ) = 1 - p(T ≤ (x - m)/ σ). Si p ≤ (x - m)/ σ) = 1 - p (T ≤ K) avec K = -T

Approximation d’une loi Binomiale B(n, p) par une loi Normale N(m, σ) : en posant m = np et σ = √(npq) à condition que n≥30 et nq≥5.

Approximation d’une loi Poisson P(λ) par une loi Normale N(m, σ) : en posant m = λ et σ = √λ à condition que λ≥20.

II. Principale loi de probabilité

II.1. Variable aléatoire

II.1.1. Définition

• Une variable aléatoire est une grandeur mesurable dont la variation dépendante du hasard. Une variable aléatoire discrète ne prend que certaine valeur entière. Une variable aléatoire