PRINCIPAUX MODELES STATISTIQUES POUR LES VARIABLES DISCRETES

...

[pic 9]

- Fonction de répartition (courbe des probabilités cumulées) :

[pic 10]

- En variable centrée réduite, ces fonctions deviennent :

[pic 11]

Paramètres caractéristiques :

- Mode = médiane = moyenne.

E(X) = M0 = Me = [pic 12] et V(X) = [pic 13]²

- La somme (ou la différence) de 2 variables aléatoires indépendantes X1 et X2 suivant respectivement 2 lois normales, suit une loi normale.

[pic 14]

- La somme de n variables aléatoires indépendantes suit une loi normale dés que n est grand (= Théorème de la limite centrale).

[pic 15]

Remarque : Lorsque les variables ne suivent pas toutes la même loi, la propriété peut rester vraie si certaines conditions sont respectées.

- Dispersion des valeurs d'une variable aléatoire suivant une loi normale:

50% de probabilité que (m-2/3[pic 16]) (m+2/3[pic 17])

68% de probabilité que (m-[pic 18]) (m+[pic 19])

95% de probabilité que (m-2[pic 20]) (m+2[pic 21])

99,7% de probabilité que (m-3[pic 22]) (m+3[pic 23])

2.13 - La droite de Henri

= Graphique Gausso-arithmétique : Il permet de vérifier visuellement la réalité de la loi normale.

D'autres méthodes permettent de compléter cette analyse : Test graphique de Lilliefors et test du X² (khi²).

2.14 - L'approximation de la loi binomiale et de la loi de Poisson par la loi Normale

* De la loi binomiale :

Conditions empiriques à respecter :

[pic 24]

Cette approximation peut porter sur la probabilité d'avoir une valeur ponctuelle (X=xi) ou celle d'avoir une valeur i).

[pic 25]

(1-x%) représente le risque que l'échantillon sorte de l'intervalle. Deux types d'erreurs peuvent survenir :

- Risque de première espèce : celui défini précédemment.

- Risque de seconde espèce : L'Hypothèse Ho de base sur la population-mère est fausse. Pour évaluer ce risque, il faut disposer de la valeur exacte.