Les suites, étude globale.
Par Stella0400 • 26 Mai 2018 • 698 Mots (3 Pages) • 408 Vues
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A
Les suites arithmétiques
Suite arithmétique
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
un+1=un+r
On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par pour tout entier naturel n :
un+1=un−2
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.
(un) est donc une suite arithmétique.
Raison
Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est une suite arithmétique de raison −2.
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
- si r>0, la suite est strictement croissante
- si r, la suite est strictement décroissante
- si r=0, la suite est constante
Terme général d'une suite arithmétique
Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un=up+(n−p)r
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un=u0+nr
Soit u une suite arithmétique de raison r=−2 et de premier terme u0=3.
Pour tout entier naturel n, on a : un=3−2n
Pour tout entier naturel non nul n :
1+2+3+...+n=n(n+1)2
1+2+3+⋅⋅⋅+15=15×(15+1)2=120
B
Les suites géométriques
Suite géométrique
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
un+1=un×q
On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et pour tout entier naturel n par :
un+1=3un
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc une suite géométrique.
Raison
Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est géométrique de raison 3.
Soit q un réel strictement positif.
- si q>1, la suite (qn) est strictement croissante.
- si q, la suite (qn) est strictement décroissante.
- si q=1, la suite (qn) est constante.
Terme général d'une suite géométrique
Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
un=up×qn−p
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
un=u0×qn
On considère suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3.
Pour tout entier naturel n, on a : un=3×2n
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