Nombre complexes
Par Matt • 14 Mars 2018 • 1 499 Mots (6 Pages) • 532 Vues
...
note M(z) et w
!"
(z).
Exemple :
Le point M(3 ; 2) a pour affixe le nombre complexe z = 3+ 2i .
De même, le vecteur w
!"
a pour affixe z = 3+ 2i .
Propriétés : M(zM ) et N( zN ) sont deux points du plan.
u
!
(z) et v
!
(z’) sont deux vecteurs du plan.
a) Le vecteur MN
!!!!"
a pour affixe zN − zM .
b) Le vecteur u
!
+ v
!
a pour affixe z + z’ .
c) Le vecteur ku
!
, k réel, a pour affixe kz.
d) Le milieu I du segment [MN] a pour affixe zI = zM + zN
Démonstration :
a) On pose : M(xM ; yM ) et N(xN ; yN ).
Le vecteur MN
!!!!"
a pour coordonnées xN − xM ; yN − y ( M ) donc son affixe est égal à
xN − x ( M ) + i yN − y ( M ) = xN + iyN − xM + iy ( M ) = zN − zM .
b) et c) : Démonstrations analogues en passant par les coordonnées des vecteurs.
Autres exemples :
II. Conjugué d’un nombre complexe
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib .
On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre, noté z, égal à a − ib .
Exemples :
- z = 4 + 5i et z = 4 − 5i
- On peut également noter :
7 − 3i = 7 + 3i ; i = −i ; 5 = 5
Remarque :
Les points d’affixes z et z sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
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Propriétés : Soit z et z ’ deux nombres complexes et n entier naturel non nul.
a) z = z b) z + z’ = z + z’ c) z × z’ = z × z’
d) z n = z n e) 1
z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 1
z
, z ≠ 0 f) z
z’
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = z
z’
, z’ ≠ 0
Démonstrations :
On pose z = a + ib et z’ = a’+ ib’ avec a, b, a’ et b’ réels.
a) z = a + ib = a − ib = a + ib = z
b) z + z’ = a + ib + a’+ ib’
= a + a’+ i(b+ b’)
= a + a’− ib− ib’
= a + ib+ a’+ ib’
= z + z’
c) e) f) Démonstrations analogues
d) On procède par récurrence.
• L’initialisation pour n = 1 est triviale.
• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu’il existe un entier k >1 tel que la propriété soit vraie : z
k = z
k
.
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : z
k +1 = z
k +1
.
z
k +1 = z
k × z = z
k × z = z
k × z = z
k +1
• Conclusion :
La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D’après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : z n = z n .
Propriétés :
a) z est réel ⇔ z = z b) z est imaginaire pur ⇔ z = −z
Démonstrations :
z = z
⇔ a + ib = a − ib
⇔ 2ib = 0
⇔ b = 0
z = −z
⇔ a + ib = −a + ib
⇔ 2a = 0
⇔ a = 0
Propriété : Soit z = a + ib un nombre complexe alors zz = a
2 + b2
.
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Démonstration :
zz = (a + ib)(a − ib) = a
2 − (ib)
2
= a
2 − i
2
b2
...