Analyse complexe
Par Stella0400 • 3 Décembre 2017 • 683 Mots (3 Pages) • 619 Vues
...
On sait aussi que [pic 81]
Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ sin(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 82][pic 83]
Pour :[pic 84]
Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} avec [pic 85][pic 86]
On sait aussi que [pic 87]
Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ ch(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 88][pic 89]
:[pic 90]
Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} avec [pic 91][pic 92]
On sait aussi que [pic 93]
Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ sh(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 94][pic 95]
Exercice 2
On note :
[pic 96]
- Montrer que P est une fonction harmonique et trouver les fonctions Q telles que P et Q soient harmoniques conjuguées.
On a :
[pic 97][pic 98]
Donc :
[pic 99]
La fonction est harmonique.
Pour les fonctions Q, telle que P et Q soient harmoniques conjuguées, on cherche donc Q telles que :
[pic 100]
[pic 101]
On a donc :
[pic 102]
Notons bien que est une fonction ne dépendant que de x. [pic 103]
On dérive Q par rapport à x : [pic 104]
Mais on a aussi: [pic 105]
↔
[pic 106]
[pic 107]
(C constante).[pic 108]
↔ [pic 109]
2) Trouver les fonctions f de la variable complexe telles que : [pic 110][pic 111]
et exprimer f en fonction de z.
[pic 112]
[pic 113]
[pic 114]
[pic 115]
[pic 116]
[pic 117]
[pic 118]
[pic 119]
Exercice 3 :
Calculé le rayon de convergence des série suivantes
- [pic 120]
- [pic 121]
- [pic 122]
Pour :[pic 123]
: Cette série est une série de Riemann, de la forme :[pic 124]
[pic 125]
Or une série de Riemann converge si et seulement si α>1. Ici, α=1, donc la suite diverge, donc le rayon de convergence est nul.
Le rayon de la série R = +∞
:[pic 126]
[pic 127]
[pic 128]
[pic 129]
[pic 130]
[pic 131]
[pic 132]
[pic 133]
Le rayon de la série R = 0
[pic 134]
[pic 135]
[pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
Le rayon de convergence de la suite R = 1
...