Maths, outils vectoriels

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EXERCICE 3 : ABC est un triangle tel que AB=2 et AC=3 ; de plus on a [pic 21]

- Démontrer de deux façons qu’ABC est rectangle en B

- Calculer , puis calculer les angles  et C[pic 22]

EXERCICE 4 : Démontrer que dans un triangle, la somme des carrés des médianes est égale aux trois quarts de la somme des carrés des côtés.

Que devient cette propriété si le triangle est équilatéral ? Rectangle ?

EXERCICE 5 : Les points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d’un carré ABCD de côté a. On note θ l’angle (. Donner une valeur exacte de cosθ, puis une valeur approchée de θ à 0,1 prés. [pic 23]

EXERCICE 6 : ABCD est un rectangle de dimensions AB=a et BC=b, avec a>b>0 ; les points H et K sont les projetés orthogonaux de A et de C sur (BD). Exprimer en fonction de a et b la distance HK.

EXERCICE 8 : A, B et C sont des points de coordonnées respectives (-2,-1) ; (6,1) et (2,5).

- Déterminer des équations des hauteurs issues de A et B.

- Déterminer des équations des médiatrices relatives aux côtés [AB] et [BC].

- Une équation du cercle circonscrit au triangle ABC ;

EXERCICE 9 : On donne les points A (1,2) ; B (9,-2) ; C (7,-4) et D tel que [pic 24]

- Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle.

- Donner une équation de ce cercle et démontrer qu’il est tangent à la droite (OA).

- Ecrire une équation de la tangente en B à ce cercle.

EXERCICE 10 : ABC est un triangle. Dans chacun des cas suivants :

- ABC est rectangle en A. 2. ABC est équilatéral 3. ABC est isocèle et Â=120°

Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que [pic 25]

EXERCICE 11 : ABC est un triangle équilatéral de côté a

- Trouver l’ensemble des points M tels que [pic 26]

- Pour quelle valeur de k l’ensemble des points M tels que est la hauteur issue de A. .[pic 27]

- Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que MA2+MB2=ka2 (discuter !)

EXERCICE 12 : Le plan est rapporté à un repère. [pic 28]

On considère la droite d d’équation avec.[pic 29][pic 30]

Soit A le point de coordonnées et soit H le projeté orthogonal de A sur la droite d.[pic 31][pic 32]

- Donner les coordonnées d’un vecteur normal à la droite d. [pic 33]

- En déduire que : avec.[pic 34][pic 35]

- Déterminer la valeur de en fonction.[pic 36][pic 37]

- En déduire la valeur de la distance AH en fonction de.[pic 38]

- Justifier que AH est la plus petite distance entre A et d. On dit que c’est la distance entre A et d.

- Application : Soit d d’équation. Déterminer la distance entre A et d.[pic 39]

EXERCICE 13 : Dans un plan P, on considère un triangle ABC tel que, H désignant la projection orthogonale de A sur (BC), on ait : ) ; [pic 40][pic 41][pic 42]

- a. Tracer une figure ; calculez AB et AC en fonction de a.

b. Construire K=bar {(B, 1) ;(C,3)} puis G=bar {(A,-1) ;(B,1) ;(C,3)}.

c. Calculer