Polynomes cas

...

Si 2   b  4ac  0 alors P n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable.

Remarque

Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut être écrite sous la forme

2 ax bx c  0 où a, b et c sont des réels tels que a  0 .la résoudre, c’est déterminer les racines du

polynôme 2 ax bx c .

Exemple 4:

Résoudre dans les équations suivantes :

  1 E 2 5x 2x 3  0

  2 E 2 2x 3x 1 0

  3 E 2 4x  4 3x 3  0

Polynômes du second degré, Equations et Inéquations Page 3

2. Somme et Produit des racines d’un polynôme du second degré

a) Recherche de la somme et du produit des racines

Soit P le polynôme du second degré défini par P x  ax2 bx  c .

Si P admet deux racines distinctes 1x et 2x alors :

 On appelle Somme des racines, le réel S tel que :

1 2 S x x 

2 2

b b b

a a a

      

   d’où

b

S

a





 On appelle Produit des racines, le réel P tel que :

1 2 P x x 

2 2

b b c

a a a

        

        

   

d’où

c

P

a



Exemple 5 :

On donne le polynôme   2 P x  x 3x 10.

Vérifier que Le polynôme P admet deux racines.

Déterminons alors la somme et le produit des racines de P.

b) Recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit.

Pour déterminer deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P, on procède de la manière

suivante :

 On vérifie que 2 S  4P  0

 On résout l’équation du second degré 2 0 X SX P      E

Les nombres réels cherchés sont les solutions de l’équation E .

Exemple 6 :

Déterminer dans chaque cas s’ils existent deux nombres réels dont on connait la somme S et le produit P.

1er cas : S  5 et P  24

2e cas : S  1 et P 12

Polynômes du second degré, Equations et Inéquations Page 4

c) Recherche d’une solution connaissant une autre.

Pour déterminer la deuxième solution d’une équation du second degré connaissant l’autre, on peut

utiliser l’expression de la somme et du produit.

Exemple 7 :

Considérons l’équation   2 x  3  2 x  2 3  0. E

Vérifier que l’équation   E admet deux solutions.

Déterminer l’autre solution de   E sachant que -2 en est une.

3. Signe d’un polynôme du second degré

Soit a, b et c des nombres réels tels que a  0.

Le signe de 2 ax bx c  de discriminant  est donné par :

 Si 0 et si 1x et 2x désignent les racines de 2 ax bx c tels que 12xx , alors on a :

x  1x 2x 

2 ax bx c Signe de a 0 Signe de (-a) 0 Signe de a

 Si 0 et si 1x est la racine double de 2 ax bx c , on a :

x  1 x 

2 ax bx c Signe de a 0 Signe de a

 Si 0 alors on a :

x  

2 ax bx c Signe de a

Remarque :

Pour résoudre dans , l’inéquation 2 ax bx c  0 (resp 2 ax bx c  0 ; 2 ax bx c  0 ;

2 ax bx c  0 ),on étudie le signe du polynôme et on en déduit l’ensemble solution.

Exemple 8 :

Résoudre dans chacune des inéquations suivantes :

  2

1 I :  x  4x 1 0

  2

2 I :  2x  2x 1 0

  2

3 I : 5x  2x 3  0

  2

4

1 9

: 3 0

2 2

I x  x  

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