Définition modèle de régression linéaire simple

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Avant l’utilisation de cette méthode un certain nombre d’hypothèses de base doivent être vérifiées :

- X est une variable aléatoire contrôlée (indépendante de l’aléa) : Cov (xi,i) = 0. Les erreurs ne dépendent pas de la variable explicative. (Déterministe) (pas de relation entre X et l’alea) (si il y a relation entre les deux l’estimateur b sera biaisé)[pic 15]

- Hypothèse de normalité : les erreurs sont issues d’une loi gaussienne. i N(0, ) suit une loi normal ( il faut que cette hypothèse soit vérifié pour faire les autres tests)[pic 16][pic 17][pic 18]

- Hypothèse d’homoscédasticité : cela implique que la variance des t est toujours constante (quel que soit t). V(i) = . (sinon estimateur b biaisé)[pic 19][pic 20][pic 21]

- Hypothèse de non autocorrélation des erreurs : les erreurs relatives à deux observations sont indépendantes. Cov (i, i) = 0[pic 22][pic 23]

- En moyenne les erreurs s’annulent E(i) = 0[pic 24]

- Estimer les paramètres du modèle

[pic 25]

= [pic 26][pic 27]

(Exemple)

Validation de la droite de régression :

- Estimation de la variance des erreurs théoriques [pic 28]

- Une estimation de et par intervalle de confiance[pic 29][pic 30]

Somme x²t = somme (Xt – moyX) ²

Bêta : on part de la statistique de test :

[pic 31].

On forme l’IC (bilatéral symétrique) on trouve :

[pic 32].

Alpha : on part de la statistique de test :

[pic 33],

- Test d’hypothèse sur [pic 34]

Régression linéaire simple :

- Estimer les paramètres du modèle :

- Alpha et Beta

- Tester la qualité générale du modèle

- Tester la nullité des coefficients

- Analyser l’ajustement du modèle aux données par l’analyse des résidus

R carré : 0,80 ➔ 80% de la variance total est expliquée par la régression