Calcul de probabilités

...

Les deux positions esquissées ci-dessus donnent deux notions qui fonctionnent de la même manière.

2.2- Vocabulaire des événements

Une expérience est dite aléatoire si on ne peut pas prévoir le résultat avant sa réalisation. Exemple : lancer d’une pièce de monnaie, d’un dé.

A une expérience aléatoire, on associe l’ensemble (ou univers) des résultats possibles.

Exemples : - pour le lancer d’une pièce de monnaie, l’univers des résultats possibles est [pic 24] = { pile, face} ou est [pic 25]= { pile, face, tranche}.

- Lancer d’un dé normal est [pic 26]= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Les résultats possibles i.e. les éléments de [pic 27] sont appelés les événements élémentaires.

Un événement est un sous-ensemble de [pic 28]. Par exemple A = {1,3,5} est un événement.

Réunion d’événements : si A et B sont deux événements, ‘’A ou B’’ est réalisé si et seulement si l’un au moins des événements A et B se réalisent. On note A B

Intersection d’ événements : ‘’A et B’’ est réalisé si et seulement A et B sont réalisés simultanément. On note A B.

Evénement contraire [pic 29] : c’est le complémentaire de A dans [pic 30].

[pic 31] comprend les événements élémentaires qui ne sont pas dans A.

Par exemple, dans le cas d’un dé si A = {1, 3, 5} alors [pic 32] = {2, 4, 6}.

Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. C’est l’ensemble vide.

Evénement certain : c’est [pic 33] . L’événement contraire de [pic 34] est [pic 35].

Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements A et B sont dits incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se réaliser simultanément.

A et B incompatibles A B = .

Par exemple, 2 événements contraires sont incompatibles.

2.3 - Probabilités d’événements

Considérons une expérience aléatoire à laquelle est associée un ensemble fini [pic 36] de n résultats possibles. (Card [pic 37]= n). [pic 38] ={e1, e2,...,en }.

- la probabilité d’un événement A, notée p(A), est telle que p(A) ≤ 1.

- p([pic 39]) = 1

- si A B = alors p(A B) = p(A) + p(B)

Evénements équiprobables

- On dit qu'il y a équiprobabilité des événements lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.

- Notons pi la probabilité de l’événement élémentaire {ei}. Les événements élémentaires sont deux à deux disjoints et leur réunion est [pic 40]

alors p1 + p2 + ... + pn = 1.

- Dans le cas où ces événements sont équiprobables, p1 = p2 =...= pn=[pic 41]

- Considérons un événement A formé de m événements élémentaires, on a Card A = m. La probabilité de A est p(A) = [pic 42]+[pic 43]+...+[pic 44]=[pic 45]

[pic 46] est l’ensemble fini des résultats possibles associés à une épreuve. Dans le cas où tous les résultats sontéquiprobables, la probabilité d’un événement A est tel que :

[pic 47]

Exemple : Une urne contient 10 boules dont 5 rouges, 3 blanches et 2 noires. La probabilité de tirer une boule blanche est [pic 48]

2.4 - Propriétés d’une probabilité

0 p(A) 1

Si A et [pic 49] sont deux événements alors p([pic 50]) = 1- p(A).

Démonstration: On a A [pic 51]= [pic 52] et A B = alors p(A [pic 53]) = p([pic 54]), donc p(A) + p([pic 55]) = 1 et p([pic 56]) = 1- p(A).

Propriétés

- Pour deux événements A et B, p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B)

- Dans le cas d’événements équiprobables de [pic 57] on a :

Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B) et [pic 58]

Evénements indépendants

On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A B) = p(A).p(B).

Dénombrement – Probabilité : exercices complémentaires (Term A)

Exercice 1

On veut constituer un bureau comprenant 3 femmes et 4 hommes. Les 3 femmes sont choisies parmi 10 et les 4 hommes parmi 7.

a- Combien de bureaux différents peut-on former ?

b- On suppose que Mme A et Mr B ne peuvent appartenir à un même bureau, combien de bureaux différents peut-on former ?

Exercice 2

Un boîte contient quatre jetons blancs numérotés 1, 2, 3, 4, et trois jetons noirs numérotés 1, 2, 3. On tire au hasard et simultanément deux jetons.

1- Quelle est la probabilité pour que les deux jetons soient :

a- blancs tous les deux ?

b- noirs tous les deux ?

c- de couleurs différentes ?

2- Quelle est la probabilité pour que la somme des numéros inscrits sur les jetons soit égale à cinq ?

Exercice 3

Un sac contient deux boules vertes, numérotées 1 et 2 ; trois boules rouges numérotées de 1 à 3 et cinq boules blanches, numérotées de 1 à 5.

On tire simultanément deux boules au hasard (c'est-à-dire que tous les ensembles de deux boules ont la même probabilité d'être tirés).