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Cours sur les exponentielles

Par   •  7 Juillet 2018  •  1 314 Mots (6 Pages)  •  111 Vues

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...

Le graphique précédent permet de plus de comparer le comportement en +∞ des fonctions x ↦→ ln(x), x ↦→ x et x ↦→ ex. On revoit que ln(x) est x→+∞

lim

De ln(x)

même, = ex 0.

est prépondérant négligeable devant x lorsque x tend vers 0 et +∞ : x→0 lim xln(x) devant x en −∞ et +∞.

= 0 et

Propriété x→−∞

lim

xex = 0, et x→+∞

lim

ex

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions exponentielles - TSTI2D - 3/5

x

= +∞.

Plus généralement, pour tout entier n, lim

x→−∞

exp′(x) = exp(x)

x

exp

x

−∞ +∞

0

xnex = 0, et lim

x→+∞

+

+∞

xn

ex

= +∞.

---------------------------------------------------------------

Exercice 6 Déterminer les limites suivantes, et interpréter graphiquement le résultat, en terme d’asymp- tote, lorsque cela est possible :

a) x→+∞

lim

e−x2

+ ex

e) x→+∞

lim

e2x + ex + 3x b) x→−∞

lim

e2x + ex + 5x3 c) x→+∞

lim

10 − e−0,1x d) x→−∞

lim

ex

e−3x

Exercice 7 On consid`ere la fonction f définie sur IR par l’expression f(x)=(−x2 − 2x + 2)e−x + 3.

1. Déterminer la fonction dérivée f′ de f et montrer que f′(x)=(x2 − 4)e−x.

En déduire le signe de f ′(x) puis le sens de variation de f. 2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞. 3. On consid`ere la fonction F définie sur IR par F(x)=(x2 + 4x + 2)e−x + 3x.

Vérifier que F est une primitive sur IR de f.

Exercice 8 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ex −

x

)

.

d) Dresser le tableau de variation complet de f.

II - Fonction exponentielle de base a

1) Définition

Soit un nombre réel a > 0. Pour tout entier relatif n, on a vu que ln (an) = nln(a), donc exp (ln (an)) = an = exp (nln(a)). Or, l’expression exp (nln(a)) existe pour tout nombre réel n, pas seulement entier relatif. On peut ainsi étendre la définition, et la notation, des puissances :

Définition Pour tout réel a > 0 et tout réel b, ab = eb ln(a).

Exemple : • 32,6 = e2,6 ln(3) ≃ • 2

1

×π ≃

Définition Pour a > 0, on appelle fonction exponentielle de base a, la fonction x ↦→ ax = ex ln(a).

Remarques : • La fonction exponentielle, réciproque du logarithme népérien, est la fonction exponen- tielle de base e : ex = ex ln(e).

• La fonction exponentielle de base 10 est la fonction réciproque du logarithme décimal, ou logarithme de base 10 : 10x = ex ln(10).

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions exponentielles - TSTI2D - 4/5

− 1 et C sa courbe représentative.

1. a) Déterminer x→−∞

lim

f(x).

b) Vérifier que, pour tout réel x non nul, f(x) = x

(

ex

f(x).

2. a) Déterminer la fonction dérivée f ′ de f.

b) Résoudre dan IR l’inéquation ex −

1

ln(2) •

⩾ 0.

En déduire le signe de f ′(x).

c) Calculer la valeur exacte de f

(

ln

1

2

( π

= eπ ln

ex + 3

) 2

= e

f) lim

x→+∞

π

2

...

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