Méthodes quantitatives, mathématiques II

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- L’image de la base canonique [pic 102] par l’application linéaire [pic 103](un endomorphisme est

une application linéaire d’un espace vectoriel vers lui-même : « endo » veut dire « interne ») est la base [pic 104]donc l’application linéaire [pic 105]est bijective.

Rappel : (Théorème) Si l’image par une application linéaire d’une base est une base, alors l’application linéaire est bijective. Ce Théorème est facile à montrer :

Cherchons le noyau de [pic 106] :

[pic 107] car [pic 108]

Donc [pic 109]

Car [pic 110] est une base, en particulier c’est une famille libre. Nous avons donc Ker [pic 111]= {[pic 112]}, par conséquent [pic 113]est injective. Le théorème du rang donne : dim Im [pic 114]= 3 donc Im [pic 115]= [pic 116], par conséquent [pic 117]est surjective. Finalement [pic 118]est bijective.

- C’est plus simple ici d’utiliser la matrice de [pic 119]. Matrice de [pic 120]par rapport à la base canonique :

[pic 121], il suffit de placer [pic 122] et [pic 123]en colonnes.

Comme [pic 124] donc [pic 125]c'est-à-dire :

[pic 126]

Ou encore : [pic 127].

Pour Déterminer la matrice de [pic 128] (bijection réciproque de [pic 129]car [pic 130]est bijective), il suffit d’inverser la matrice de [pic 131], c'est-à-dire calculer [pic 132], pour cela on peut utiliser la méthode de Pivot de Gauss (voir Partie 3, Exercice 4 ci-dessous) ou la méthode de la comatrice (voir Partie 3, Exercice 8 ci-dessous). On trouve :

[pic 133]

Partie 3 : Calcul matriciel

Exercice 4 : Inversion de la matrice C avec la méthode de Pivot de Gauss « Pivot total » :

[pic 134] [pic 135] [pic 136]

(Étape 0 : C à gauche, la matrice unité à droite) ([pic 137])

[pic 138][pic 139] ([pic 140])

[pic 141][pic 142] ([pic 143])

[pic 144][pic 145][pic 146]

[pic 147][pic 148] [pic 149]

On est arrivé à inverser le tableau de départ « Etape 0 » : la matrice unité se retrouve à gauche maintenant, et à droite on récupère la matrice[pic 150]. On a alors : [pic 151]

Vérification :

[pic 152][pic 153]

Exercice 5 :

- [pic 154] et [pic 155]. Nous avons alors :

[pic 156]

- [pic 157] et [pic 158]

Nous avons alors : [pic 159] et [pic 160]. La matrice M est donc inversible et [pic 161] (car [pic 162]). On obtient alors :

[pic 163]

Exercice 6 :

- [pic 164]

- [pic 165]

- [pic 166] car [pic 167], et comme [pic 168] donc [pic 169]

De même : [pic 170] et [pic 171]

Exercice 7 : A B = B A = I est équivalent à :

[pic 172]

Par identification, A B = B A = I est équivalent à :

[pic 173]

« * : [pic 174] et [pic 175] »

[pic 176] ou [pic 177]

Ainsi, les couple (a ; b) qui vérifient A B = B A = I sont : [pic 178] et [pic 179]

Exercice 8 :

- En développant suivant la 1ère colonne par exemple, on obtient :

[pic 180]

En particulier la matrice A est inversible.

- [pic 181] car A est une matrice carrée d’ordre 3.

- [pic 182] car [pic 183]

Et [pic 184]

- [pic 185] car [pic 186]

- Inversion de A par la méthode des cofacteurs (ou méthode de la comatrice)

(Voir annexe 1)

[pic 187] avec [pic 188] (Les [pic 189] sont les cofacteurs de A)

[pic 190] Déterminant de A en supprimant la ligne i et la colonne j

Ainsi :

[pic 191]

On a alors :

[pic 192]

- Inversion de A par la méthode de Pivot de Gauss :

[pic 193] [pic 194] [pic 195][pic 196][pic 197]

(Étape 0) ([pic 198] ([pic 199]

[pic 200] [pic 201] [pic 202] [pic 203]

([pic 204] ([pic 205]

Exercice 10 : [pic 206] « application linéaire »

- [pic 207]

Or [pic 208]

[pic 209] Et par conséquent : [pic 210], avec [pic 211]

Le vecteur U est non nul, c’est une base de Ker(f). En particulier dim Ker(f)=1.

- Im(f) : dim Ker(f) + dim Im(f) = 3 donc dim Im(f) = 2. Or Im(f) est engendré par les 3 vecteurs

colonnes de la matrice M : [pic 212] avec [pic 213]

et [pic 214]. Comme il est de dimension 2, on doit prendre 2 vecteurs colonnes parmi les 3, à condition que ces deux vecteurs colonnes soient linéairement indépendants. On teste C1 et C2 :

[pic