Les trinômes du second degré : caractérisation
Par Plum05 • 10 Mai 2018 • 1 039 Mots (5 Pages) • 428 Vues
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Δ=49 a une allure similaire à celle ci-dessus.
On remarque que la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses.
IVRacines du trinôme
Racines
Soit T une fonction trinôme définie sur ℝ par T(x)=ax2+bx+c, avec a≠0. Les racines du trinôme T(x) sont les valeurs de x pour lesquelles il s’annule. Ce sont les solutions de l’équation T(x)=0 c’est-à-dire ax2+bx+c=0 .
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur ℝ par T(x)=ax2+bx+c, avec a≠0. Notons Δ son discriminant.
Cas 1Si Δ<0
Le trinôme n’a pas de racine réelle.
Considérons le polynôme P(x)=5x2−2x+1.
Δ=(−2)2−4×5×1=−16
Le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.
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Cas 2Si Δ=0
Le trinôme a une unique racine qu’on appelle racine double :
x0=−b2a
Considérons le polynôme P(x)=−5x2−70x−245.
Δ=(−70)2−4×(−5)×(−245)=0
Le polynôme possède une racine double car Δ=0.
x0=−(−70)2×(−5)=−7
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Cas 3Si Δ>0
Le trinôme a deux racines réelles distinctes :
x1=−b−Δ⎯⎯⎯√2a
x2=−b+Δ⎯⎯⎯√2a
Considérons le polynôme P(x)=3x2−2x−1.
Δ=(−2)2−4×3×(−1)=16
On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines :
x1=−(−2)−16⎯⎯⎯⎯√2×3=−13 et x2=−(−2)+16⎯⎯⎯⎯√2×3=1
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VFactorisation du trinôme
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur ℝ par T(x)=ax2+bx+c, avec a≠0. Notons Δ son discriminant.
Cas 1Si Δ<0
Le trinôme n’est pas factorisable.
Considérons le polynôme P(x)=5x2−2x+1.
Δ=(−2)2−4×5×1=−16
Le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.
On ne peut pas factoriser le trinôme.
Cas 2Si Δ=0
Le trinôme peut se factoriser sous la forme :
T(x)=a(x−x0)2
Considérons le polynôme P(x)=−5x2−70x−245.
Δ=(−70)2−4×(−5)×(−245)=0
Le polynôme possède une racine double car Δ=0.
x0=−(−70)2×(−5)=−7
Il peut s’écrire sous la forme : P(x)=−5(x−(−7))2=−5(x+7)2.
Cas 3Si Δ>0
Le trinôme peut se factoriser sous la forme :
T(x)=a(x−x1)(x−x2)
Considérons le polynôme P(x)=3x2−2x−1.
Δ=(−2)2−4×3×(−1)=16
On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines :
x1=−(−2)−16⎯⎯⎯⎯√2×3=−13 ou x2=−(−2)+16⎯⎯⎯⎯√2×3=1
Il peut s’écrire sous forme factorisée :
P(x)=3(x−(−13))(x−1)=3(x+13)(x−1).
VISigne du trinôme
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur ℝ par T(x)=ax2+bx+c, avec a≠0. Notons Δ son discriminant.
Cas 1Si Δ<0
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Considérons le polynôme P(x)=5x2−2x+1.
Δ=−16
Donc le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.
Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=5. Donc P(x)>0, pour tout réel x.
La parabole représentant le polynôme est toujours située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
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Cas 2Si Δ=0
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Considérons le polynôme P(x)=−5x2−70x−245.
Le polynôme possède une racine double, car Δ=0, qui est x0=−7.
Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=−5. Donc P(x)≤0, pour tout réel x.
La parabole représentant le polynôme est toujours située au-dessous de l’axe des abscisses.
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Cas 3Si Δ>0
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Considérons le polynôme P(x)=3x2−2x−1.
Δ=16
On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines : x1=−13 et x2=1.
Le polynôme a le signe de a=3 "à l’extérieur des racines" et le signe contraire "entre les racines".
Pour tout réel x∈]−∞;−13]∪[1;+∞[, on a P(x)≥0 et la parabole est située au-dessus de l’axe des abscisses.
Pour tout réel x∈[−13;1], on a P(x)≤0 et la parabole est située au-dessous de l’axe des abscisses.
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ILes trinômes du second
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