Les intérêts composés

...

= ia / 12 iba = 2 ia

Remarque : En intérêts simples les taux proportionnels conduisent le capital pendant la même durée de capitalisation à une même valeur acquise. Par contre en intérêts composés les valeurs acquises sont différentes.

Application

Taux équivalent : Deux taux correspondants à des périodes de capitalisations différentes son équivalents si et seulement si pour un même capital et pour une même durée, ils conduisent à une même valeur acquise. Un capital C placé au taux annuel ia pendant 1 an a pour valeur acquise C (1+ ia) 1. Pour réussir à déterminer le taux équivalent, on identifie rapidement la plus grande période et la plus petite période. On recherche combien de fois on a la plus petite période dans la grande période.

Exemple :

ia = le taux annuel ; is = le taux semestriel ; it = le taux trimestriel ; im =le taux mensuel ; ib = le taux bisannuel

is équivalent à ia soit (1+ia)1 = (1+is)2 soit is = - 1

La plus grande période ici est l’année et la plus petite période est le semestre ce qui signifie que 1 année = 2 semestre ce qui justifie les exposants.

it équivalent à ia soit (1+ia)1 = (1+it)4 soit it = - 1

ia équivalent à ib soit (1+ib)1 = (1+ia)2 soit ia = - 1

Remarque : Le taux équivalent est utilisé en intérêts composé alors que le taux

proportionnel est utilisé en intérêt simple.

Application

V – Escompte et équivalence à intérêts composés

A. Escompte à intérêts composés

1. Calcul de la valeur actuel d’un capital ou d’un effet

Définition : la valeur actuelle au taux i par francs par périodes d’un effet de valeur nominal C payable dans n périodes est la somme C0 telle que, capitalisée pendant n période au taux i, elle reproduise la valeur nominale.

Formulation : Posons C = C0 (1+i) n ce qui conduit à C0 = C (1+i) –n telle est la formule de la valeur actuelle d’un capital ou d’un effet. L’expression (1+i) –n se lit dans la table financière n°2

2. Calcul de l’escompte à intérêts composés

Dans la pratique, on emploi l’escompte commercial quand il s’agit de négocier des effets dont l’échéance est rapprochée. Mais pour les effets à une échéance lointaine, il est plus logique d’employer l’escompte à intérêts composés (e) qui est la différence entre la valeur nominale d’un effet et la valeur actuelle de l’effet c’est-à-dire :

e = C – C0 soit e = C – C (1+i) -n soit e = C [1- (1+i) –n]

B. Equivalence à intérêts composés

1. Equivalence entre deux capitaux ou deux effets

Définition: Deux capitaux ou effet de valeurs nominales différentes (V1, V2) et d’échéances différentes (n1, n2) escomptés à intérêts composés au même taux sont dits équivalents lorsqu’ils ont à la date de l’escompte, des valeurs actuelles égales entre elles.

Equation d’équivalence : valeur actuelle du 1er effet = valeur actuelle du 2nd effet

V1 (1+i) –n1 = V2 (1+i) –n

2. Problèmes pratiques posés sur la notion d’équivalence

Recherche de la valeur nominale de l’effet remplaçant

Recherche de l’échéance de l’effet remplaçant

Recherche du taux d’équivalence

3. Equivalence entre plusieurs capitaux et plusieurs autres

Les effets V1, V2, V3,… échéant respectivement dans n1, n2, n3,… période sont équivalents aux effets U1, U2, U3,… échéant respectivement dans p1, p2, p3,…. Périodes si la somme des valeurs actuelles des effets V est égale à la somme des valeurs actuelle des effets U.

Si i est le taux pour un francs par période, l’équation d’équivalence dérivée de la définition pourra s’écrire :

4. Remplacement d’un effet par plusieurs autres effets

Pour remplacer un effet par plusieurs autres, il suffit de poser que la valeur actuelle de l’effet unique à remplacer est égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplaçant, c’est-à-dire :

V (1+i)-n =

V est le nominal de l’effet unique remplacé, n est le nombre de périodes entre la date d’équivalence et l’échéance de l’effet.

Echéance moyenne

Dans le cas particulier où la valeur nominale de l’effet unique remplaçant est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés, la date d’échéance du paiement unique est dite Echéance moyenne.

A l’équivalence, on a : Valeur actuelle de l’effet remplaçant = somme des valeurs actuelles des effets remplacés c’est-à-dire :

V (1+i)-n =