Le 1er contrôle de l’année...

...

On notera [pic 15] le vecteur unitaire dirigé de O vers G.

c – Citer la troisième loi de Kepler en utilisant la notation imposée par l’énoncé

2 – a - Dans quel référentiel le mouvement du satellite est-il décrit ?

b - En appliquant la seconde loi de Newton au satellite, déterminer l’expression du vecteur-accélération [pic 16] du point G.

3 – a - Donner les coordonnées du vecteur accélération dans la base de Frenet (que vous

représenterez sur le schéma précédent)

b- Comment peut qualifier le vecteur accélération ?

c - Montrer alors que la vitesse v du satellite est telle que :

v² = G[pic 17] avec R = RT + h

4 – a - Définir la période de révolution T du satellite.

b - Donner son expression en fonction de G, MT et R.

c - Ce satellite est-il géostationnaire ? Justifier.

Correction :

Exercice 1

- Dans le référentiel terrestre considéré galiléen, on peut appliquer la deuxième loi de Newton au système {fusée éclairante} pour déterminer les coordonnées du vecteur accélération.

En effet, cette loi stipule que dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées au système (ici la fusée éclairante) est égale à la dérivée du vecteur quantité de mouvement.

[pic 18]

On néglige la variation de masse de la fusée pendant son mouvement donc [pic 19] = 0 et la deuxième loi de Newton devient : [pic 20]= mf.[pic 21].

On néglige toutes les actions dues à l’air (frottement, poussée d’Archimède), alors la fusée est en chute libre, soumise uniquement à la force poids [pic 22].

Ainsi [pic 23]. mf.[pic 24] = mf.[pic 25] soit [pic 26] = [pic 27]

Donc Dans le repère (O, [pic 28] , [pic 30]), on obtient [pic 31] [pic 29]

- Comme [pic 32], on a [pic 33]

En primitivant, on obtient [pic 34]où C1 et C2 sont des constantes liées aux conditions initiales.

À la date t = 0 s, on [pic 35] On en déduit [pic 36]

Comme [pic 37], on a [pic 38]

En primitivant, on obtient [pic 39] où C3 et C4 sont des constantes liées aux conditions initiales.

À la date t = 0 s, la fusée éclairante est située à la sortie du pistolet à une altitude h donc [pic 40].

On en déduit [pic 41] conformément aux équations horaires proposées.

- L’équation de la trajectoire s’obtient en substituant t dans la seconde équation : t=[pic 42]

Puis on l’injecte dans la seconde équation. On obtient alors l’équation suivante :

- Pour déterminer la valeur de la durée du vol de la fusée éclairante, on cherche la date tVol pour laquelle la fusée touche le sol, ainsi y(tvol) = 0.

Il faut résoudre l’équation du second degré : [pic 43] et ne retenir que la solution positive.

L’expression précédente devient -0.5 t² + 50*sin(60°)*t+2,0 = 0 soit t=8,9 s en résolvant le discriminant.

La fusée ne présente donc aucun danger lorsqu’elle retombe au sol.

2.1. [pic 44] Avant que la fusée ne quitte le pistolet, on a [pic 45] donc [pic 46].

2.2. Éjection de la fusée

2.2.1. La quantité de mouvement d’un système isolé se conserve : [pic 47].

2.2.2. Juste après l’éjection de la fusée, la quantité de mouvement du système a pour expression :

[pic 48] Comme [pic 49] alors [pic 50]

[pic 51] soit Vp= 3,0 m.s-1

2.2.3. Le soldat tient fermement le pistolet lors du tir, ainsi il exerce une force sur le système ce qui réduit la vitesse de recul du pistolet. D’autre part, le système subit des forces de frottement non prises en compte.

[pic 52]

Exercice 2

I.1. a. Schéma ci-contre.

I.1.b. Force d’attraction gravitationnelle

exercée par la Terre sur le satellite Giove-A :

[pic 53][pic 54][pic 55]

I.1.c. La troisième loi de Kepler peut s’énoncer de la façon suivante =cte [pic 56]

I.2.a. La seconde loi de newton s’applique dans un référentiel galiléen. Le référentiel géocentrique doit être galiléen (le principe d’inertie s’y vérifie expérimentalement).

I.2.b. La seconde loi de Newton appliquée au système satellite, dans le référentiel géocentrique s’écrit : [pic 57]

Soit [pic 58]

[pic 59]

I.3.a. Dans la base de Frenet, les coordonnées du vecteur accélaration s’écrivent de la façon suivante dans la base (G,) : = + [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

1.3.b Pour un mouvement circulaire uniforme le vecteur accélération [pic 65] est centripète :

I.3.c D’après I.3.a. l’accélération a pour valeur a = [pic 66] et d’après I.2.c. [pic 67] = a = [pic 68]

Soit [pic 69]

v² = G[pic 70] avec R = RT + h

I.4.a. La période de révolution T du satellite est la durée