Corrigé de TD sur le propriétés relatives à la construction
Par Junecooper • 20 Septembre 2018 • 5 205 Mots (21 Pages) • 576 Vues
...
|φ(x) − ψ(x)| ≤ ε.
On a alors :
∫
b
a
φ(x) sin(nx)dx =
∫
b
(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx + a
∫
b
ψ(x) sin(nx)dx. a On en déduit ∣
∣ ∣ ∣ ∣
: ∫
b
a
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ φ(x) sin(nx)dx
≤
∫
b
(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx
+ a
∫
a
b
ψ(x) sin(nx)dx
∣ ∣ ∣ ∣
.
Maintenant, on choisit n
0
de sorte que pour ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∫
a
b
n ≥ n
0 , ψ(x) sin(nx)dx
on ait :
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
≤ ε.
Pour un tel n, on a encore :
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∫
a
b
(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∫ ≤
b
∣ ∣(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)
∣ ∣dx ≤ (b − a)ε. a
Ceci prouve que, pour n ≥ n
0
,ona: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∫
a
b
φ(x) sin(nx)dx
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
≤ ε + (b − a)ε.
La propriété est conservée si φ est continue par morceaux.
Exercice 6 - Approximation d’une valeur absolue - L2/Math Spé - ⋆⋆⋆
1. Soit a
0
n
une subdivision adaptée à f, ie f est constante sur chaque intervalle [a
i
,a
i+1
]. Soit α > 0 très petit (au moins, 2α
i+1
− a
i
)). On définit g de la façon suivante sur chaque intervalle [a
i
,a
i+1
] : – Si f ≥ 0 sur [a
i
,a
i+1
], on définit g comme étant égale à 1 sur [a
i
+ α, a
i+1
− α], g(a
i
) = g(a
i+1
)=0, et g est affine sur chaque intervalle [a
i
,a
i
+ α] et [a
i+1
− α, a
i+1
] (faire un dessin). – Si f
i
,a
i+1
], on définit g comme étant égale à −1 sur [a
i
+ α, a
i+1
− α], g(a
i
) = g(a
i+1
)=0, et g est affine sur chaque intervalle [a
i
,a
i
+ α] et [a
i+1
− α, a
i+1
]. Alors, on a toujours fg ≥ 0, et fg = |f| sur chaque intervalle
...