La prévention publique d’une épidémie dans un modèle optimale de croissance.

...

u2 // augmentation du taux de mortalité chez les individus qui dévelopent la maladie

B // taux de natalité

ii // fréquence de contamination verticale (parents à enfants)

l // fréquence de contamination horizontale(individus à individus)

l1 // taux de manifestation de la maladie chez un individu porteur du virus

Avec P(t)=S(t)+I(t)+R(t) et S(0),I(0)et R(0) donnée.

La théorie des épidémies fournit de nombreux systèmes d'équations différentielles. On a une idée intuitive du comportement du phénomène de la propagation de ces maladies. Y interviennent des phénomènes de contamination, de diffusion ect…

On a recours a des methodes numerique de résolutions de ces équation différentielles afin d’obtenir une simulation de l’évolution des differents compartiment au cours du temps.

Nous modéliserons avec Scilab, un logiciel sous licence libre, et userons de la methode de résolution des sytèmes différentielles de Runge-Kutta d’ordre 4 (pour plus de précision) pour la résolution de tous les systèmes d’équations.

Étant donné une maladie, une question fondamentale est de savoir si elle peut se propager dans la population. Ceci revient à calculer le nombre moyen d'individus qu'une personne infectieuse pourra infecter, tant qu'elle sera contagieuse. Ce nombre est appelée le taux de reproduction de base, et est dénotée R0.

Elle est considérée dans une population où tous les individus sont sains, sauf l'individu infectieux introduit. Si R0

À l'opposé, si R0 > 1, alors la maladie peut se propager dans la population.

Déterminer R0 en fonction des paramètres du modèle permet ainsi de calculer les conditions dans lesquelles la maladie se propage.

Dans le cas d'un seul compartiment infecté, R0 est simplement le produit du taux d'infection et de sa durée moyenne. Lorsque le modèle est simple, il est souvent possible de trouver une expression exacte de R0.

A partir des paramètres fourni dans l’étude sur laquelle se base notre analyse, il est possible de calculer le taux de reproduction de base de la maladie :

[pic 5]

Les paramètres fournis sont les suivants :

u = 0.01// taux de mortalité

u1 = 0.03 // augmentation du taux de mortalité chez les individus porteurs du virus

u2 = 0.6 // augmentation du taux de mortalité chez les individus qui dévelopent la maladie

B = 0.03// taux de natalité

ii = 1/3 // fréquence de contamination verticale (parents à enfants)

l = 0.5// fréquence de contamination horizontale(individus à individus)

l1 = 0.125 // taux de manifestation de la maladie chez un individu porteur du virus

d’où on obtient un taux de reproduction de base, R0=3,22, R0>1 d’où les paramètres corroborent l’idée de propagation de la maladie :nous somme bien en présence d’une épidémie.

Sans dynamique vitale, c’est-à-dire, avec des taux de natalité et de mortalité nuls, on obtient un taux de reproduction de base R0 = l / l1 = 4.

Cela correspond au statistiques établies sur la propagation du VIH comme le montre le tableau qui suit et qui situe le taux de reproduction de base dans le cas du VIH entre 2 et 5.

[pic 6]

Aussi on obtient les graphique suivant faisant état de la propagation de la maladie :

Sans dynamique vitale : Ro = 4

[pic 7]

Avec dynamique vitale Ro = 3,22

[pic 8]

- Une politique de santé publique : le dépistage

[pic 9]

« Ensemble d'examens et de tests effectués au sein d'une population apparemment saine afin de dépister une affection latente à un stade précoce. »

Le dépistage aide au contrôle des épidémies. Cette procédure est imposée à une fraction de la population supposée saine (qui n’est pas malade ) pour distinguer les individus sains des porteur-sains. Une fois dépisté, l’individu est placé dans un nouveau compartiment, D(t), et n’est plus actif dans la contamination, autant horizontale que verticale. Cet individu est supposé avoir le même taux de mortalité qu’un porteur sain, mais bénéficie de traitements qui lui permette de developer la maladie avec une fréquence plus faible qu’un individu porteur sain.

La nouvelle compartimentation nous donne le système dynamique suivant :

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

est le taux de personnes dépistés et donc retirées des porteurs sains.[pic 14]

v(t) représente la stratégie de dépistage, le nombre de personnes qui sont prévu se faire dépister dans une unité de temps.

De nouveau, nous allons faire appele à Scilab pour faire des prédictions pour cette nouvelle dynamique.

Soit v(t) égale à :

1/1000 * P

[pic 15]

1/100*P

[pic 16]

1/10*P

[pic 17]

P

[pic 18]

II) le volet économique

- Le cout du dépistage

Le volet économique est basé sur le modèle de Ramsey. Il suppose l’éxistence