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Corrigé de TD sur le propriétés relatives à la construction

Par   •  20 Septembre 2018  •  5 205 Mots (21 Pages)  •  77 Vues

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...

|φ(x) − ψ(x)| ≤ ε.

On a alors :

b

a

φ(x) sin(nx)dx =

b

(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx + a

b

ψ(x) sin(nx)dx. a On en déduit ∣

∣ ∣ ∣ ∣

: ∫

b

a

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ φ(x) sin(nx)dx

b

(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx

+ a

a

b

ψ(x) sin(nx)dx

∣ ∣ ∣ ∣

.

Maintenant, on choisit n

0

de sorte que pour ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a

b

n ≥ n

0 , ψ(x) sin(nx)dx

on ait :

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

≤ ε.

Pour un tel n, on a encore :

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a

b

(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)dx

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∫ ≤

b

∣ ∣(φ(x) − ψ(x)) sin(nx)

∣ ∣dx ≤ (b − a)ε. a

Ceci prouve que, pour n ≥ n

0

,ona: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a

b

φ(x) sin(nx)dx

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

≤ ε + (b − a)ε.

La propriété est conservée si φ est continue par morceaux.

Exercice 6 - Approximation d’une valeur absolue - L2/Math Spé - ⋆⋆⋆

1. Soit a

0

n

une subdivision adaptée à f, ie f est constante sur chaque intervalle [a

i

,a

i+1

]. Soit α > 0 très petit (au moins, 2α

i+1

− a

i

)). On définit g de la façon suivante sur chaque intervalle [a

i

,a

i+1

] : – Si f ≥ 0 sur [a

i

,a

i+1

], on définit g comme étant égale à 1 sur [a

i

+ α, a

i+1

− α], g(a

i

) = g(a

i+1

)=0, et g est affine sur chaque intervalle [a

i

,a

i

+ α] et [a

i+1

− α, a

i+1

] (faire un dessin). – Si f

i

,a

i+1

], on définit g comme étant égale à −1 sur [a

i

+ α, a

i+1

− α], g(a

i

) = g(a

i+1

)=0, et g est affine sur chaque intervalle [a

i

,a

i

+ α] et [a

i+1

− α, a

i+1

]. Alors, on a toujours fg ≥ 0, et fg = |f| sur chaque intervalle

...

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