DM de physique-chimie

...

- f est strictement croissante sur : pour tout réel x appartenant à , on a c'est à dire . L'équation n'a donc pas de solution sur l'intervalle .[pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]

- f est strictement décroissante sur : pour tout réel x appartenant à , on a c'est à dire . L'équation n'a donc pas de solution sur l'intervalle .[pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138]

- f est dérivable et strictement croissante sur et donc l'équation a une seule solution sur l'intervalle .[pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

- f est strictement croissante sur : pour tout réel x appartenant à , on a c'est à dire . L'équation n'a donc pas de solution sur l'intervalle .[pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148]

Conclusion l'équation a une seule solution sur ℝ.[pic 149]

- Avec GeoGebra, construire la courbe représentative de f sur l'intervalle , le point d'abscisse 3, puis les points , , , et . Comparer l'abscisse du point , et la solution graphique de l'équation .[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158]

Voir document joint (en affichant le protocole de construction).

L'abscisse de est une valeur approchée de la solution de l'équation à 0,12 près.[pic 159][pic 160]

- À l'aide d'un tableur, déterminer une valeur approchée à près de la solution de l'équation . On pourra organiser le tableau réalisé de la manière suivante :[pic 161][pic 162]

Une valeur approchée à près de la solution de l'équation [pic 165]est 1,680 494.[pic 163][pic 164]

- g est la fonction définie sur par .[pic 166][pic 167]

- Calculer puis étudier le sens de variation de g.[pic 168]

[pic 169]

[pic 170]

[pic 171]

[pic 172]

[pic 173]

[pic 174]

[pic 175]

.[pic 176]

Donc g est strictement décroissante sur .[pic 177]

- Démontrer que l'équation a une seule solution.[pic 178]

[pic 179]

[pic 180]

g est dérivable et strictement décroissante sur et donc l'équation a une seule solution sur l'intervalle .[pic 181][pic 182][pic 183][pic 184]

- Écrire avec Algobox un algorithme utilisant la méthode de Newton permettant d'obtenir une valeur approchée à près de cette solution. On prendra .[pic 185][pic 186]

Voir document joint.

Une valeur approchée à près de cette solution est [a]3,423 027 8.[pic 187]

Exercice n°3

On lance un dé dodécaédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 12. Si la face obtenue est paire, le joueur gagne un point. Si la face obtenue est un multiple de 3, le joueur gagne trois points. Si la face obtenue est supérieure ou égale à 10, le joueur gagne quatre points. Sinon le joueur perd cinq points.

Ces gains sont cumulables si la face obtenue réalise plusieurs de ces conditions.

- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe à un lancer le gain obtenu.

Le tableau ci-dessous donne le nombre de points pour chaque face, obtenu(s) selon les différents critères.

[pic 188]La loi de probabilité de X est donc :

[pic 189]

[pic 190]

[pic 191]

[pic 192]

[pic 193]

[pic 194]

- Déterminer E(X), Ce jeu est-il équitable ?

.[pic 195]

L'espérance mathématique de X n'est pas nulle donc le jeu n'est pas équitable.

- Quel montant devrait-on réclamer au joueur lorsqu'il perd pour que le jeu soit équitable ?

Soit k le montant cherché.

L'espérance de X serait alors : .[pic 196]

L'espérance de X serait nulle si et seulement si c'est à dire .[pic 197][pic 198]

Pour que le jeu soit équitable, il faudrait réclamer au joueur 10 points lorsqu'il perd.

Exercice n°4

À un concours, un QCM comporte 8 questions. Pour chaque question, on propose quatre réponses dont une seule est correcte. Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse enlève un demi-point. Un candidat décide de répondre au hasard à toutes les questions.

- On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de bonnes réponses du candidat. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Répondre au hasard à une question d'un QCM est une épreuve de Bernoulli dont l'issue succès est « la réponse donnée est bonne » et l'issue échec est « la réponse donnée est mauvaise ». La probabilité de l'issue succès est .[pic 199]

Cette épreuve est répétée 8 fois dans des conditions d'indépendance (la réponse donnée à une question n'influence pas celle donnée à une autre question). On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres et .[pic 200][pic 201]

X est la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses c'est à dire le nombre de succès donc la loi de probabilité suivie par X est la loi binomiale de paramètres et .[pic 202][pic 203]

- Calculer la probabilité d'obtenir 4 bonnes réponses au QCM. On donnera le