Matrices.

...

Les termes de la forme [pic 31] d'une telle matrice [pic 32] constituent la diagonale principale.

Exemple

[pic 33]

Matrices carrées remarquables

- Matrice diagonale

Définition:

Matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale.

[pic 34] avec [pic 35] pour [pic 36]

Propriété:

[pic 37]

- Matrice unité I

Définition

Matrice diagonale où tous les termes de la diagonale principale sont égaux à [pic 38] .

[pic 39] avec [pic 40]

- Matrice triangulaire

Définition

Matrice carrée dont les éléments sont nuls au-dessus ( [pic 41] pour [pic 42] : matrice triangulaire supérieure) ou au-dessous ( [pic 43] pour [pic 44] : matrice triangulaire inférieure) de la diagonale principale.

Matrices triangulaires supérieures : [pic 45]

Matrices triangulaires inférieures : [pic 46]

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-

Somme et différence de deux matrices

Définition

Deux matrices [pic 47] et [pic 48] de même type ( [pic 49] , [pic 50] ) peuvent s'additionner ou se soustraire.

La somme (ou différence) de ces deux matrices est une matrice [pic 51] du même type telle que : [pic 52]

Exemple

Si [pic 53] et [pic 54] ,

alors [pic 55] et [pic 56]

-

Multiplication de deux matrices

Définition

Deux matrices [pic 57] de type ( [pic 58] , [pic 59] ) et [pic 60] de type ( [pic 61] , [pic 62] ) peuvent se multiplier.

Le produit de ces deux matrices est une matrice [pic 63] de type ( [pic 64] , [pic 65] ), où l'élément [pic 66] de [pic 67] est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de [pic 68] par les éléments de la jème colonne de [pic 69] .

[pic 70]

Propriété

Le produit matriciel n'est pas, en général, commutatif : [pic 71]

On donne les matrices [pic 72] et [pic 73] ,

[pic 74] .

[pic 75] n'existe pas car le nombre de colonnes [pic 76] de [pic 77] est différent du nombre de lignes [pic 78] de [pic 79] . D'où [pic 80] .

-

Produit d’une matrice par un scalaire

Définition

Le produit d'une matrice [pic 81] par un scalaire [pic 82] , noté [pic 83] , est la matrice obtenue en multipliant chaque élément [pic 84] de [pic 85] par [pic 86] :

[pic 87]

Exemple

Si [pic 88] et [pic 89] ,

alors [pic 90]

Soit la matrice carrée [pic 91] .

[pic 92]

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Déterminants

Définition

On appelle déterminant de la matrice [pic 93] , d'ordre [pic 94] , le tableau carré contenant les éléments de la matrice limité par deux traits verticaux.

Notation : [pic 95] ou [pic 96]

La valeur d'un déterminant [pic 97] d'ordre [pic 98] est donnée par un développement suivant :

une ligne [pic 99] : [pic 100]

ou une colonne [pic 101] : [pic 102]

Propriété 1

Si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) d'un déterminant [pic 103] sont nuls alors[pic 104] .

Propriété 2

Si deux lignes (ou deux colonnes) d'un déterminant [pic 105] sont proportionnelles (ou identiques) alors [pic 106] .

Exemple

[pic 107] (la 3ème colonne est proportionnelle à la 1ère)

[pic 108]

Propriété 3

Si l'on permute les lignes et les colonnes d'un déterminant, la valeur reste inchangée :[pic 109] .

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Matrices semblables

On considère ici des applications linéaires (souvent notée f) de E dans E, et les matrices associées, E étant muni de la même base au départ et à l'arrivée.

Définition

Deux matrices A et B sont dites semblables si elles représentent la même application linéaire f de E dans E muni de deux bases différentes. Donc A et B sont semblables si et seulement si, il existe une matrice P inversible telle que A = PBP-1.

Si A est la matrice de f dans la base b et si B est celle de f dans la base c, alors P est la matrice de passage de b vers c, c'est à dire la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de c dans la base b.

Propriété : Deux matrices semblables ont même trace et même déterminant.

Rappelons que la trace d'une