Calcul de la prime

...

Donc la compagnie d’assurance doit imposer un montant [pic 68] à chaque assuré pour qu’elle puise faire face aux dédommages des sinistres survenus sans bénéfice et sans déficit.

4.2 Cas de survenance d’un sinistre au plus par période

Soit une compagnie d’assurance qui fait la couverture de [pic 69] individus. Dans le cas où il y a une survenance d’un sinistre à un individu la compagnie doit verser à ce dernier un montant forfaitaire [pic 70].

Supposons que chaque police donne lieu au plus à un sinistre. La variable aléatoire [pic 71] [pic 72] qui représente le montant remboursé à l’individu [pic 73] par la compagnie est donnée par :

[pic 74]

où [pic 75] désigne la probabilité de survenance de sinistre.

Si les [pic 76] sont indépendantes, alors on a :

[pic 77] [pic 78]

Ainsi l’écart entre [pic 79] et la prime pure [pic 80] est majoré en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff définit par :

[pic 81] [pic 82]

où [pic 83].

4.3 Cas de survenance d’un nombre aléatoire de sinistres par période

Supposons que dans une compagnie d’assurance, une police peut générer plus d’un sinistre par période. Dans ce cas la survenance d’un sinistre implique le versement d’un forfait [pic 84] par l’assureur. Alors la charge de la compagnie s’exprime comme suit :

[pic 85] [pic 86]

où [pic 87] est une variable aléatoire qui représente le nombre de sinistres déclarés par la police [pic 88].

Il s’ensuite :

[pic 89] [pic 90]

où [pic 91]

Donc on obtient :

[pic 92] [pic 93]

Ainsi l’écart entre [pic 94] et la prime pure [pic 95] est majoré en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff définit par :

[pic 96] [pic 97]

4.4 Cas de la réparation indemnitaire

Etant donné une variable aléatoire [pic 98] qui représente le montant de sinistre qui peut subir une compagnie d’assurance pour une police [pic 99] . Supposons que le nombre de sinistre n’est pas pris en considération et soit [pic 100] la probabilité pour que . [pic 101]

Notons par [pic 102] une variable aléatoire qui est définit comme suit :

[pic 103]

où [pic 104] désigne la probabilité de survenance de sinistre [14] et les [pic 105] sont des variables aléatoires positives, indépendantes et de même loi.

Dans ce cas, la prime pure sera :

[pic 106]

Ecrivons [pic 107] sous la forme suivante:

[pic 108]

où

[pic 109]

Ainsi l’écart entre [pic 110] et la prime pure [pic 111] est majoré en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff définit par :

[pic 112]

[pic 113] [pic 114]

où [pic 115].

5. La prime nette

La prime nette [15] est obtenue par l’ajout à la prime pure un nombre appelé taux chargement de sécurité qui sera définit ultérieurement dans ce chapitre. La prime nette exprimée sous la forme suivante :

[pic 116] [pic 117]

où [pic 118] est appelé le taux de chargement de sécurité.

6. La prime commerciale

La prime commerciale, notée [pic 119] permet à l’assureur de faire face à son engagement, de régler les sinistres, de compenser ses couts de gestion et de réaliser des bénéfices.

Les frais généraux de l’entreprise comprennent les frais d’acquisition du contrat, les frais d’encaissement des primes, les frais de gestion et les impots.

La prime commerciale s’obtient en ajoutant à la prime nette les frais généraux. Elle s’exprime sous la forme suivante :[pic 120]

[pic 121] [pic 122]

7. Applications de théorème central-limite en assurance

Soient les variables aléatoires [pic 123] les montants (les coûts) des sinistres relatifs à aux polices [pic 124] émet par une compagnie d’assurance à une période donnée.

Considérons que ces variables sont indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne [pic 125] et de variance [pic 126].

Alors :

[pic 127] [pic 128]

où [pic 129].

Il en résulte que lorsque [pic 130], [pic 131] on a :

[pic 132] [pic 133]

où